Математика как наука

Математика — слово, пришедшее к нам из Древней Греции: mathema переводится как «познание, наука». Математика — это наука о количест­венных отношениях и пространственных формах действительного мира.

Количественные отношения выражаются теперь не только целыми положительными или рациональными числами, но и комплексными числами, векторами, функциями и др. Современное понимание про­странственных форм включает наряду с геометрическими объектами трехмерного пространства (прямая, круг, треугольник, конус, ци­линдр, шар и пр.) многочисленные обобщения — понятия многомер­ного и бесконечномерного пространств.

Развитие науки и техники заставляет математику непрерывно рас­ширять представления о пространственных формах и количественных отношениях.

Математика изучает математические модели — логические структу­ры, у которых описан ряд отношений между их элементами. Кроме того, математика изучает всевозможные — хотя бы мысленно — схемы, их взаимосвязи, методы их конструирования, иерархии схем (схемы схем) и т. д.

Понятия математики отвлечены от конкретных явлений и предме­тов; они получены в результате абстрагирования от качественных осо­бенностей, специфических для данного круга явлений и предметов. Одни и те же закономерности математики, один и тот же математиче­ский аппарат могут достаточно удовлетворительно применяться к опи­санию явлений природы, технического, а также экономического и со­циальных процессов.

Математика возникла из практических нужд людей, ее связи с прак­тикой становятся все более и более многообразными и глубокими. Ма­тематику можно применять в изучении любого типа движения, са­мых разнообразных явлений. Но ее роль в различных областях научной и практической деятельности неодинакова. Особенно велико значение математики в развитии современной физики, астрономии, химии. Значительное место занимает математика и в таких науках, как эконо­мика, биология, медицина. Качественное своеобразие явлений, изу­чаемых в этих науках, настолько велико и так сильно влияет на харак­тер их течения, что математический анализ пока может играть лишь подчиненную роль. Особое же значение для социальных и биологиче­ских наук приобретает математическая статистика.

В истории развития математики выделяют четыре периода.

Первый период — это период зарождения математики как самостоя­тельной научной дисциплины. Его начало теряется в глубине истории.

Он продолжался приблизительно до VI-Vbb до н.э. Период зарождения математики связан с практическими вычислениями и измерениями, с формированием понятия числа и фигуры. Изучаются простые геомет­рические фигуры, величины — длина, площадь, объем и т.д. Область применения математики — счет, торговля, земляные работы, астроно­мия, архитектура. Зарождающиеся математические знания представ­ляют собой правила для решения практических задач, установки или руководства к действию, которые не формулируются, а поясняются на частных примерах. Превращение математики в формализованную нау­ку с оформившимся дедуктивным методом построения произошло в Древней Греции. Начало греческой геометрии связывается с именем Фалеса Милетского.

Второй период — период элементарной математики (математики по­стоянных величин) — продолжался приблизительно до конца XVII в., когда довольно далеко зашло развитие новой — высшей математики.

Начало ему положили математики Древней Греции (VI - Vbb. до н. э.). Этот период характеризуется тем, что математика выступает как само­стоятельная научная дисциплина, имеющая свой предмет (число, фи­гура) и свои методы исследования. Появилась новая математическая дисциплина — алгебра, имеющая специальную символику. Возникли знаменитые задачи древности — квадратура круга, трисекция угла, уд­воение куба, были построены первые иррациональные числа. Евклид в своих «Началах» заложил основы теории чисел. Архимед разработал методы нахождения площадей и объемов различных фигур и тел (в том числе площадей сегмента параболы, поверхности шара, объема сег­мента шара и параболоида). Диофант исследовал преимущественно решение уравнений в рациональных положительных числах. Написан первый систематический учебник геометрии.

Значительного развития математика достигла в древних Китае и Индии. Китайским математикам были свойственны высокая техника произведения вычислений и интерес к развитию общих алгебраиче­ских методов. Индийским математикам принадлежат заслуги введения десятичной нумерации, употребления нуля для обозначения отсутст­вия единиц данного разряда, а также и более широкого развития алгеб­ры, оперирующей не только положительными рациональными числа­ми, но и отрицательными и иррациональными числами.

Интенсивные торговые отношения между арабскими территория­ми привели к расцвету математики: впервые была изложена алгебра как самостоятельная наука; многие геометрические задачи получили алгебраическую формулировку; были введены в рассмотрение триго­нометрические функции, десятичные дроби, вычислено число л с сем­надцатью верными десятичными знаками.

Третий период — это период математики переменных величин (с XVII в. до середины XIX в.). Он характеризуется созданием и разви­тием математического анализа, изучением процессов в их движении, развитии.

Рассмотрение переменных величин и связей между ними привело к понятиям функции, производной и интеграла, к возникновению но­вой математической дисциплины — математического анализа. Введе­ние и систематическое употребление координат дало универсальный метод перевода задач геометрии на язык алгебры и анализа, в результа­те чего возникли новые ветви геометрии — аналитическая геометрия, дифференциальная геометрия. Методы математического анализа, в особенности дифференциальные уравнения, стали основой матема­тического описания законов механики и физики, а также технических процессов; с ними неразрывно связан прогресс естествознания и тех­ники. Под влиянием математического анализа складываются новые области в смежных дисциплинах — аналитическая, механика, матема­тическая физика и т.д. Широкое применение в приложениях математики получило вариационное исчисление.

Четвертый период — это период создания математики переменных отношений (XIX— XX вв.). Он характеризуется возникновением и раз­витием математического анализа, изучением процессов в их движе­нии, развитии. Широко используется метод моделирования. Возникли различные разделы математики. Основная черта данного периода — это интерес к критическому пересмотру ряда вопросов обоснования математики.

Крупнейшими событиями, в значительной мере послужившими началу больших сдвигов в понимании всей структуры математики, явились исследования российского ученого Н.И. Лобачевского. Даль­нейшие исследования по основаниям геометрии привели к формули­ровке полного списка аксиом геометрии, созданию общего понятия пространства, элементами которого могут быть объекты любой приро­ды. Изучение наиболее общих свойств геометрических фигур и про­странств, интерес к которому был вызван развитием неевклидовых геометрий, привел к созданию новой области математики — тополо­гии.

В ХIХ в. происходит новое значительное расширение области при­ложений математического анализа. В качестве основного аппарата возникших в ХIХ в. областей механики (механики непрерывных сред, баллистики) и физики (электродинамики, теории магнетизма, термо­динамики) усиленно развивается теория дифференциальных уравне­ний, в особенности дифференциальных уравнений с частными произ­водными. В XVIII в. были решены отдельные уравнения такого вида. Общие методы начали развиваться лишь в XIX в. и продолжают разви­ваться сейчас в связи с задачами физики и механики.

Возникли новые ветви математики: вычислительная математика, математическая логика, теория вероятности.

Математика находится в непрерывном развитии, что обусловлено, во-первых, потребностями жизненной практики, а во-вторых — внут­ренними потребностями становления математики как науки. Матема­тика оказывает существенное влияние на развитие техники, экономи­ки и управления производством. «Математизация» различных облас­тей знаний, проникновение математических методов во многие сферы практической деятельности человека, быстрый рост вычислительной техники — все это повлекло за собой создание целого ряда математиче­ских дисциплин: теории игр, теории информации, математической статистики, теории вероятности и т.д.

МАТЕМАТИКА КАК УЧЕБНЫЙ ПРЕДМЕТ

В школьный курс математики должна быть отобрана та часть матема­тических знаний (обязательная), которая даст общее представление о науке, поможет овладеть математическими методами и будет способство­вать необходимому развитию математического мышления у школьников.

Первые сведения об обучении детей простейшим вычислениям встречаются в источниках по истории стран Древнего Востока. Боль­шое влияние на развитие школьного математического образования оказала математическая культура Древней Греции, где уже в V в. до н.э. в связи с развитием торговли, мореплавания, ремесел в началь­ной школе изучались счет и практическая геометрия.

Содержание учебного предмета математики меняется со временем в связи с расширением целей образования, появлением новых требова­ний к школьной подготовке, изменением стандартов образования. Кроме того, непрерывное развитие самой науки, появление новых ее отраслей и направлений влекут за собой обновление содержания обра­зования: сокращаются разделы, не имеющие практической ценности, вводятся новые перспективные и актуальные темы. Не стоят на месте и педагогические науки, новый педагогический опыт вводится в практи­ку работы массовой школы.

Математика как учебный предмет в школе представляет собой эле­менты арифметики, алгебры, начал математического анализа, евкли­довой геометрии плоскости и пространства, аналитической геометрии, тригонометрии.

Обучение учащихся математике направлено: на овладение ими сис­темой математических знаний, умений и навыков, необходимых для дальнейшего изучения математики и смежных учебных предметов и решения практических задач; на развитие логического мышления, пространственного воображения, устной и письменной математиче­ской речи; на формирование навыков вычислений, алгебраических преобразований, решения уравнений и неравенств, а также инстру­ментальных и графических навыков.

От математики как науки математика как учебный предмет отлича­ется не только объемом, системой и глубиной изложения, но и при­кладной направленностью изучаемых вопросов.

Учебный курс математики постоянно оказывается перед необходи­мостью преодолевать противоречие между математикой — развиваю­щейся наукой — и стабильным ядром математики — учебным предме­том. Развитие науки требует непрерывного обновления содержания математического образования, сближения учебного предмета с нау­кой, соответствия его содержания социальному заказу общества.

Для современного этапа развития математики как учебного предме­та характерны:

• жесткий отбор основ содержания;

• четкое определение конкретных целей обучения, межпредметных связей, требований к математической подготовке учащихся на каждом этапе обучения;

• усиление воспитывающей и развивающей роли математики, ее связи с жизнью;

• систематическое формирование интереса учащихся к предмету и его приложениям.

Дальнейшее совершенствование содержания школьного матема­тического образования связано с требованиями, которые предъявляет к математическим знаниям учащихся практика, — промышленность, производство, военное дело, сельское хозяйство, социальное переуст­ройство и т.д.

Движение за гуманизацию, демократизацию и деидеологизацию среднего образования, характерное для развития отечественной педа­гогики 90-х г. XX в., оказало определенное влияние и на содержание школьного математического образования. Идея дифференциации обучения проявилась в возникновении в Российской Федерации от­носительно нового типа школ (лицеев, гимназий, колледжей и др.) или классов различных направлений (гуманитарного, технического, экономического, физико-математического и др.). В связи с сущест­венными различиями в построении курса математики для школ раз­ного профиля актуальна проблема математического стандарта, под которым понимается содержание и уровень математической подго­товки.