4. Формы мышления в процессе обучения математике

Качества научного мышления

Математическое мышление

Математическое понятие и его характеристики

Пути формирования понятий.

Классификация понятий

Определение понятия.

Виды определений

Теорема. Виды теорем.

Методика работы над теоремой

Методы доказательства теорем

КАЧЕСТВА НАУЧНОГО МЫШЛЕНИЯ

Современное обучение характеризуется стремлением сделать раз­витие мышления школьников управляемым процессом, а основные приемы мышления - специальным предметом усвоения.

Научное мышление характеризуют следующие качества:

гибкость — умение целесообразно варьировать способы решения познавательной проблемы, легкость перехода от одного пути решения проблемы к другому; способность выходить за границы привычного способа действия, находить новые способы решения проблемы при из­менении задаваемых условий; умение перестраивать систему усвоен­ных знаний по мере овладения новыми знаниями и накопления опыта;

оригинальность — высший уровень развития нешаблонного мышле­ния, необычность способов решения учащимися известных задач. Оригинальность мышления — следствие глубины мышления;

глубина — способность проникать в сущность каждого изучаемого факта, в его взаимосвязь с другими фактами, выявлять специфические, скрытые особенности в изучаемом материале; умение конструировать модели конкретных ситуаций и т.д.;

целесообразность — стремление осуществлять разумный выбор дей­ствий при решении какой-либо проблемы, постоянно ориентируясь на поставленную этой проблемой цель, а также стремление отыскать кратчайшие пути ее достижения;

рациональность — склонность к экономии времени и средств для ре­шения поставленной проблемы, стремление отыскать оптимально простое в данных условиях решение задачи, использовать в ходе реше­ния схемы, символику и условные обозначения;

широта — способность к формированию обобщенных способов действий, имеющих широкий диапазон переноса и применения к част­ным, нетипичным случаям; умение охватить проблему в целом, обоб­щить ее, расширить область приложения результатов, полученных в процессе ее разрешения; а также умение классифицировать и система­тизировать изучаемые математические факты и использовать анало­гию и обобщение как методы решения задач;

активность — постоянство усилий, направленных на решение неко­торой проблемы, желание обязательно решить данную проблему, изу­чить различные подходы к ее решению и др.;

критичность — умение оценить правильность выбранных путей реше­ния поставленной проблемы и получаемые при этом результаты с точки зрения их достоверности и значимости; умение найти и исправить собст­венную ошибку, проследить заново все выкладки или ход рассуждения, чтобы выявить противоречие, помогающее понять причину ошибки;

доказательность — умение терпеливо относиться к собиранию фак­тов, достаточных для вынесения какого-либо суждения; стремление к обоснованию каждого шага решения задачи; умение отличать досто­верные результаты от правдоподобных;

организованность памяти — способность к запоминанию, долговре­менному сохранению, быстрому и правильному воспроизведению учебного материала. При обучении учащихся математике следует раз­вивать как оперативную, так и долговременную память, обучать уча­щихся запоминанию наиболее существенного, общих методов и прие­мов решения задач, доказательству теорем; формировать умения систематизировать свои знания и опыт. Организованность памяти формируется у школьников особенно эффективно, если запоминание каких-либо фактов основано на их понимании.

Не нуждаются в комментариях такие качества научного мышления, как ясность, точность, лаконичность устной и письменной речи. Совокуп­ность всех указанных качеств мышления называют научным стилем мышления.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МЫШЛЕНИЕ

Мышление есть активный процесс отражения объективного мира в сознании человека. Специфика предмета математики такова, что ее изучение существенно влияет на развитие мышления школьников, тесно связанное с формированием приемов мышления в процессе учебной деятельности. Эти приемы мышления (анализ, синтез, обоб­щение и др.) выступают также как специфические методы научного ис­следования, особенно ярко проявляющиеся при обучении математике как одного из базовых школьных предметов.

Основными целевыми компонентами математического образова­ния в школе являются:

• усвоение учениками системы математических знаний;

• овладение школьниками определенными математическими умениями и навыками;

• развитие мышления учащихся.

Мыслительная деятельность школьников выполняется с помощью мыслительных операций: сравнения, анализа и синтеза, абстракции, обобщения и конкретизации.

Сравнение — это сопоставление объектов познания с целью нахож­дения сходства (выделения общих свойств) и различия (выделения особенных свойств) между ними. Сравнение лежит в основе всех дру­гих мыслительных операций.

Анализ — это мысленное расчленение предмета познаний на части.

Синтез — мысленное соединение отдельных элементов в единое це­лое. В реальном мыслительном процессе анализ и синтез всегда выпол­няются совместно.

Абстракция — это мысленное выделение каких-либо сущест­венных свойств и признаков объектов при одновременном отвле­чении от всех других их свойств и признаков. В результате абст­ракции выделенное свойство или признак становится предметом мышления.

Обобщение рассматривают как мысленное выделение:

• общих свойств (инвариантов) в двух или нескольких объек­тах и объединение этих объектов на основе выделенной общно­сти;

• существенных свойств объекта в результате анализа их в виде об­щего понятия для целого класса объектов (научно-теоретическое об­общение).

Конкретизация также выступает в двух формах:

• как мысленный переход от общего к единичному, частному;

• как восхождение от абстрактно-общего к частному, путем выяв­ления различных свойств и признаков объекта.

Различают три вида мышления:

1. Наглядно-действенное (познание объектов совершается в про­цессе практических действий с этими объектами).

2. Наглядно-образное (мышление с помощью наглядных обра­зов).

1. Теоретическое (в форме абстрактных понятий и суждений).

С развитием математики как науки и методики преподавания мате­матики изменилось содержание, которое вкладывалось в понятие ма­тематическое мышление, существенно возросла роль проблемы разви­тия мышления в процессе обучения математике.

Математическое мышление является одним из важнейших компо­нентов процесса познавательной деятельности учащихся, без целена­правленного развития которого невозможно достичь высоких резуль­татов в овладении школьниками системой математических знаний, умений и навыков. К сожалению, в настоящее время нет единого под­хода к трактовке понятия мышления, к объяснению тех механизмов, которые им управляют.

Формирование математического мышления школьников предпо­лагает целенаправленное развитие всех качеств, присущих естествен­нонаучному мышлению, комплекса мыслительных умений, лежащих в основе методов научного познания, в органическом единстве с форма­ми проявления мышления, характеризующихся спецификой предмета математики.

Выделяют следующие признаки математического мышления:

• доминирование логической схемы рассуждения;

• лаконизм мышления: предельная скупость, суровая строгость мысли и ее изложения;

• четкая расчлененность хода рассуждения;

• точность символики.

Основным определяющим признаком культуры математического мышления считается полноценность аргументации, которая предпо­лагает:

• освоение учеником идеи доказательства;

• умение пользоваться определениями понятий (осознавать их ло­гическую структуру, уметь выполнять действия подведения под поня­тие и выведение следствий);

• умение работать с теоремами (понимать их логическое строение, сущность прямой и обратной теорем и т.д.);

• владение общими логическими методами доказательства: анали­тическим, синтетическим, методом от противного, полной индукцией, математической индукцией;

• владение частными методами и приемами, характерными для той или иной темы.

Органическое сочетание и повышенная активность различных компонентов мышления проявляются в особых способностях человека (математических, организаторских, педагогических и т.д.), что дает ему возможность успешно осуществлять творческую деятельность в са­мых разнообразных областях.

Математические способности — это определенная совокупность не­которых качеств творческой личности, сформированных в процессе математической деятельности.

Математическая одаренность школьников характеризуется быст­рым схватыванием математического материала; тенденцией мыслить сокращенно, свернутыми структурами, стремлением к своеобразной экономии умственных усилий; наличием ярких пространственных представлений.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПОНЯТИЕ И ЕГО ХАРАКТЕРИСТИКИ

Всякое явление, любой процесс представляет собой единство со­держания и формы. Структуру отдельных мыслей и их особых сочета­ний называют формами мышления . Основными формами мышления являются понятия, суждения, умозаключения. Понятия — одна из главных составляющих содержания любого предмета, в том числе и предметов математического цикла. Полноценное изучение математи­ческих понятий систематизирует знания учащихся, способствует более глубокому освоению предмета. Первостепенная задача учителя мате­матики при изучении любой темы — формирование понятийного ап­парата темы.

Понятие — форма мышления, в которой отражены существенные (отличительные) свойства объектов изучения. Понятие считается правильным, если оно верно отражает реально существующие объ­екты.

Каждое понятие может быть рассмотрено по содержанию и объему. Содержание понятия раскрывается с помощью определения, объем - с помощью классификации. Посредством определения и классифика­ции отдельные понятия организуются в систему взаимосвязанных по­нятий.

Содержание понятия — это множество всех существенных призна­ков данного понятия.

Объем понятия — множество объектов, к которым применимо дан­ное понятие.

Например, понятие треугольник соединяет в себе класс всевозмож­ных треугольников (объем этого понятия) и характеристическое свой­ство — наличие трех сторон, трех вершин, трех углов (содержание по­нятия); понятие уравнение соединяет в себе класс всевозможных уравнений (объем понятия) и характеристическое свойство — равенст­во, содержащее одну или несколько переменных (содержание поня­тия).

Существенные (характеристические) свойства — это такие свойства, каждое из которых необходимо, а все вместе достаточны для характе­ристики объектов, принадлежащих понятию. Мы имеем понятие о не­которой вещи, если знаем и можем словесно выразить, какие условия необходимы и вместе с тем достаточны для ее однозначного определе­ния. Однако не каждое необходимое условие является достаточным и не каждое достаточное условие является необходимым. Например, ра­венство двух углов является необходимым условием для того, чтобы эти углы были вертикальные, но не является достаточным. Процесс конструирования понятий заключается в поиске такого числа необхо­димых условий, которое было бы достаточно для однозначного опреде­ления требуемого класса вещей. Совокупность этих условий и прини­мают за содержание понятия.

Так, содержанием понятия квадрата является совокупность усло­вий: быть четырехугольником, иметь равные стороны, иметь равные углы. Квадрат можно определить как четырехугольник с равными сто­ронами и равными углами.

Для понятия параллелограмм содержание будет представлено сле­дующими свойствами:

• противоположные стороны равны и параллельны;

• противоположные углы равны;

• диагонали в точке пересечения делятся пополам и др.

Объем понятия параллелограмм представлен множествами следую­щих четырехугольников: 1) собственно параллелограммы; 2) ромбы; 3) прямоугольники; 4) квадраты (схема 2).

Схема 2. Объем понятия параллелограмм

Содержание понятия четко определяет его объем, а объем понятия вполне определяет его содержание. Таким образом, изменение в содер­жании понятия влечет за собой изменение в его объеме, и наоборот. Между содержанием и объемом понятия существует обратная связь: с увеличением содержания понятия параллелограмм (диагонали взаим­но перпендикулярны) сразу уменьшается его объем (остаются лишь ромб и квадрат); если уменьшить содержание этого понятия (потребо­вать параллельности только двух противоположных Сторон), увеличит­ся его объем (к названным четырехугольникам добавится трапеция).

Если объем одного понятия содержится в объеме другого, то второе понятие называется родовым по отношению к первому понятию, а пер­вое называется видовым по отношению ко второму. Например, поня­тие ромб является родовым по отношению к понятию квадрат. Введе­ние понятия через ближайший род и видовые заключается в следующем:

• указывается род, в который входит определяемое понятие;

• указываются видовые отличия и связь между ними.

Например, ромб — это параллелограмм, две смежные стороны ко­торого равны. Родовым понятием выступает понятие параллелограм­ма, из которого определяемое понятие выделяется посредством одного видового отличия (равенство смежных сторон).

В отношении объемов различают следующие виды понятий: равнозначные, объемы которых полностью совпадают; пересекающиеся, объемы которых частично пересекаются; находящиеся в отношении включения: объем одного понятия содер­жится в объеме другого понятия.

ПУТИ ФОРМИРОВАНИЯ ПОНЯТИЙ.

КЛАССИФИКАЦИЯ ПОНЯТИЙ

Формирование понятий — сложный психологический процесс, ко­торый осуществляется и протекает по следующей схеме:

ощущения -> восприятие -> представление -> понятие.

Процесс формирования понятий состоит из мотивации введения понятия, выделения его существенных свойств, усвоения определе­ния, применения понятия, понимания связи изучаемого понятия с ра­нее изученными понятиями. Формирование понятия осуществляется в несколько этапов:

• мотивация (подчеркивается важность изучения понятия, активи­зируется целенаправленная деятельность школьников, возбуждается интерес к изучению понятия с помощью привлечения средств немате­матического содержания, выполнения специальных упражнений, объ­ясняющих необходимость развития математической теории);

• выявление существенных свойств понятия (выполнение упражнений, где выделяются существенные свойства изучаемого понятия);

• формулировка определения понятия (выполнение действий на распознавание объектов, принадлежащих понятию, конструирование объектов, относящихся к объему понятия).

Выделяют два пути формирования понятий (схема 3).

Объем понятия раскрывается с помощью классификации. Под клас­сификацией понимают последовательное, многоступенчатое разделе­ние множества на классы с помощью некоторого свойства.

Классификация понятий — выяснение объема понятий, т.е. разделе­ние множества объектов, составляющих объем родового понятия, на виды. Это разделение основано на сходстве объектов одного вида и от­личии их от объектов

других видов. Правильная классификация поня­тий предполагает соблюдение следующих условий:

• классификация проводится по определенному признаку, остаю­щемуся неизменным в процессе классификации;

• понятия, получающиеся в результате классификации, — взаимно независимые;

• сумма объемов понятий, получающихся при классификации, рав­няется объему исходного понятия;

• в процессе классификации переходят к ближайшему в данном родовом понятии виду.

Натуральное число подразделяют на простое число, единицу и со­ставное число. Такая классификация натуральных чисел, а также клас­сификация треугольников по сторонам и углам (схема 4) позволяют наблюдать выполнение этих условий.

Квадрат Схема 5. Схема четырехугольников

В методическом смысле полезными в обучении математике могут оказаться и схемы, на которых изображена зависимость изучаемых объектов. Например, в курсе планиметрии рассмотрим класс четырех­угольников (схема 5).