Определение понятия. Виды определений

Заключительным этапом формирования понятия является его оп­ределение. Определить понятие — значит перечислить его существен­ные свойства. Определение понятия — это предложение, в котором раскрывается содержание понятия, т.е. совокупность условий, необ­ходимых и достаточных для выделения класса объектов, принадлежа­щих определяемому понятию.

Явные и неявные определения различаются в зависимости от своей структуры. Явные определения содержат прямое указание на существен­ные признаки определяемого понятия; определяемое и определяющее в них выражены четко и однозначно. Например: «Углом называется фигу­ра, образованная двумя лучами, выходящими из одной точки»; «Прямо­угольник есть параллелограмм с прямым углом».

Дескрипциями называются определения математических объектов путем указания их свойств («То число, которое, будучи умножено на длину диаметра, дает длину его окружности» — дескрипция числа я).

Неявные определения объектов не содержат четкого и однозначного определяющего элемента, в них содержание определяемого может быть установлено через некоторый контекст.

Номинальные и реальные определения. Все определения, которые применяются в математике и других науках, делятся на номинальные и реальные, в зависимости от того, что определяется — знаковое выраже­ние (термин, символ) или реальный объект, обозначаемый им. С по­мощью номинальных определений вводят новый термин, символ или выражение как сокращения для более сложных выражений из ранее введенных терминов или символов, или уточняется значение уже вве­денного термина или символа. Номинальные определения являются средством обогащения языка науки и уточнения семантики его выра­жений «Квадратным корнем из неотрицательного числа а называется такое неотрицательное число х, что х² = а».

С помощью реальных определений фиксируются характеристиче­ские свойства самих определяемых объектов. Деление определений на номинальные и реальные не связано с их формальной структурой. Одно и то же определение можно представить и как номинальное, и как реальное. Например, пусть дано реальное определение: «Пяти­угольник есть плоская геометрическая фигура, ограниченая пятью сто­ронами». Это же определение можно переформулировать как номи­нальное: «Пятиугольником называется плоская геометрическая фигура, ограниченная пятью сторонами».

Контекстуальные и индуктивные определения. В математике началь­ных классов часто применяются контекстуальные определения —такие определения нового неизвестного термина, понятия, которые выясня­ются из смысла прочитанного, сводятся к указанию содержащих его контекстов («больше», «меньше», «равно»).

Индуктивными называются определения, которые позволяют из сходных объектов (теории) путем применения к ним конкретных опе­раций получать новые объекты. Например, по индукции вводится оп­ределение натурального числа в математике.

Аксиоматические определения. Определения исходных понятий, ко­торые даются посредством исходных понятий некоторой теории через ее аксиомы, — это аксиоматические определения. При аксиоматическом построении математической теории некоторые понятия остаются

неопределенными, например, точка, плоскость и расстояние в аксиома­тике А.Н. Колмогорова. Определением этих понятий можно считать систему аксиом, описывающих их свойства.

Определения через род и видовые отличия. Это классические опреде­ления, которые можно рассматривать как частный вид номинальных определений. В них определяемое выделяется из предметов некоторой области, которая при этом явно упоминается в определении (род), пу­тем указания характеристического свойства определяемого (видовое отличие). Например: «Квадрат — прямоугольник с равными сторона­ми»; «Ромб — параллелограмм, у которого все стороны равны»; «Па­раллелограммом называется четырехугольник, противоположные сто­роны которого параллельны»; «Прямоугольник есть параллелограмм с прямым углом».

Общая схема определения через ближайший род и видовое отличие может быть записана на языке множеств (классов):

(класс В состоит из объектов х, принадлежащих А — ближайшему роду и обладающих свойством Р — видовое отличие) или на языке свойств:

xs В<^хвАиР(х),нлиВ(х)<^>А(х)иР(х)

(объект х обладает свойством В тогда и только тогда, когда он обла­дает свойством А и свойством Р).

В школьном курсе математики через род и видовое отличие опреде­ляются : Длина ломаной. Периметр многоугольника (прямоугольника, квадрата). Квадрат. Куб. Круг. Радиус окружности (круга). Биссектри­са угла. Развернутый угол. Прямой угол. Градус. Острый угол. Тупой угол. Виды треугольников по величине углов. Фигуры, симметричные относительно точки (центр симметрии). Перпендикулярные и парал­лельные прямые.

Генетические определения. Это такие определения, в которых опи­сывается или указывается способ его происхождения, образования, возникновения, построения. Генетические определения представляют собой разновидность определения через род и видовые отличия. На­пример: «Сферой называется поверхность, полученная вращением по­луокружности вокруг своего диаметра»; «Шар — это геометрическое тело, образованное вращением полукруга вокруг диаметра».

В школьном курсе математики можно выделить следующие гене­тические определения понятий: Отрезок. Луч. Равносторонний тре­угольник. Координатный луч. Равные фигуры. Площадь прямоуголь­ника. Площадь квадрата. Объем прямоугольного параллелепипеда. Окружность. Дуга окружности. Сектор. Угол и его элементы. Равные углы. Длина окружности. Площадь круга.

Определение через абстракцию. Такое название получили определе­ния, связанные с выделением объектов через установление между ними отношений равенства, равнозначности, тождества. В определе­нии через абстракцию математическое понятие определяется как се­мейство классов эквивалентности по некоторому отношению эквива­лентности.

Например, натуральное число п — это характеристика класса эквивалентных конечных множеств, состоящих из п элементов.

Остенсивные определения. Это определения значений слов путем не­посредственного показа, демонстрации предметов. Часто применяют­ся в начальной школе (понятия отрезка, окружности, угла и др.). По­степенно с развитием математического опыта и накоплением определенного числа понятий на смену остенсивным понятиям прихо­дят вербальные понятия. Вербальные понятия — это понятия, в которых значения неизвестных выражений определяются через выражения, с известным значением.

Определение считается корректным, если выполняются два усло­вия:

1. отсутствует порочный круг и связанная с ним возможность ис­ключения нововведенных терминов («Решение уравнения — это то число, которое является его решением»);

2. отсутствует омонимия: каждый термин встречается не более од­ного раза в качестве определяемого.

ТЕОРЕМА. ВИДЫ ТЕОРЕМ. МЕТОДИКА РАБОТЫ НАД ТЕОРЕМОЙ

Формой связи понятий друг с другом является суждение. Если суж­дения правильно отображают объективно существующие зависимости между вещами, то такие суждения называют истинными; в противном случае суждения будут ложными. Процесс получения нового сужде­ния-вывода из одного или нескольких данных суждений называется умозаключением. Важнейшими видами сложных суждений являются теоремы и аксиомы (постулаты).

Аксиома (от греч. axioma — авторитетное предложение, «то, что при­емлемо») — предложение, принимаемое без доказательства. Аксиомы и первичные (неопределяемые) понятия составляют основной фунда­мент математической теории.

К системе аксиом, характеризующих некоторую научную теорию, предъявляются требования независимости, непротиворечивости, пол­ноты.

Постулат (от лат. postulatum — требование) — выражение опреде­ленного требования (условия), которому должно удовлетворять неко­торое понятие или некоторое отношение между понятиями.

При изучении свойств различных математических объектов прихо­дится делать те или иные заключения, т.е. на основе понятий и сужде­ний того или иного раздела математики строить предложения, истин­ность которых необходимо обосновать.

Математическое предложение, истинность которого устанавлива­ется посредством доказательства (рассуждения), называется теоремой.

Существуют два вида формулирования теоремы: условный и кате­горический. Всегда можно из одного вида формулирования теоремы перейти в другой. Если теорема сформулирована в условной форме, то в ней должно быть ясно указано: при каких условиях рассматривается в ней тот или иной объект (условие теоремы) и что в этом объекте утвер­ждается (заключение теоремы).

Доказательство теоремы состоит в том, чтобы показать, что если выполняется условие, то из него логически следует заключение, т.е., приняв, что Р истинно, в соответствии с правилами вывода показать, что G истинно, и тем самым получить возможность утвердить, что дан­ное высказывание (теорема) истинно в целом.

Доказательство включает в себя три основных элемента:

Тезис (главная цель доказательства — установить истинность тези­са). Форма выражения тезиса — суждение.

Аргументы (основания) доказательства — положения, на которые опирается доказательство и из которых при условии их истинности необходимо следует истинность доказываемого тезиса. Форма выра­жения аргументов — суждения. Связывая аргументы, приходим к умозаключению, которые строятся по определенным правилам. Аргу­менты, на которые можно опереться при доказательстве: аксиомы, определения, ранее доказанные теоремы.

Демонстрация — логический процесс взаимосвязи суждений, в ре­зультате которого осуществляется переход от аргументов к тезису.

Известно, что, имея некоторую (прямую) теорему (Р =>G), можно образовать новые теоремы, и не одну:

G=> P— обратная;

P=>G — противоположная;

G => Р — контрапозитивная (обратная противоположной или противопо-

ложнообратная).

Между этими видами теорем существует тесная связь:

а) (Р=> G) и (G =» Р) — одновременно истинны или ложны;

б) (G=> Р) и (Р => G) — одновременно истинны или ложны.

При изучении теорем школьного курса математики учитель при­держивается следующей последовательности:

1. Постановка вопроса (создание проблемной ситуации).

2. Обращение к опыту учащихся.

3. Высказывание предположения.

4. Поиск возможных путей решения.

5. Доказательство найденного факта.

6. Проведение доказательства в максимально простой форме.

7. Установление зависимости доказанной теоремы от ранее извест­ных.

Процесс изучения школьниками теоремы включает этапы: мотива­ция изучения теоремы; ознакомление с фактом, отраженным в теоре­ме; формулировка теоремы и выяснение смысла каждого слова в фор­мулировке теоремы; усвоение содержания теоремы; запоминание формулировки теоремы; ознакомление со способом доказательства; доказательство теоремы; применение теоремы; установление связей теоремы с ранее изученными теоремами.

МЕТОДЫ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ТЕОРЕМ

Рассуждение с целью обоснования истинности какого-либо утвер­ждения называется доказательством. Существуют различные методы доказательства теорем. Под методом доказательства будем понимать способ связи аргументов при переходе от условия к заключению сужде­ния.

Методы доказательства, используемые в школьном курсе матема­тики, можно выделить по двум основаниям:

• по пути обоснования тезиса (прямое и косвенное);

• по математическому аппарату, используемому в доказательстве. К прямым приемам доказательства относят приемы:

• преобразования условия суждения (синтетический);

• преобразования заключения суждения: а) отыскание достаточных оснований справедливости заключения (восходящий анализ); б) отыскание необходимых признаков справедливости суждения с последующей проверкой обратимости рассуждений (нисходящий анализ);

• последовательного преобразования то условия, то заключения суждения.

К косвенным приемам поиска доказательств относят:

• метод «от противного» (истинность доказываемого тезиса устанавливается посредством опровержения противоречащего ему суждения);

• разделительный метод, или метод разделения условий (тезис рассматривается как один из возможных вариантов предположений, когда все предположения отвергаются, кроме одного), иначе этот метод называют методом исключения.

К методам доказательства, выделенным по второму основанию, ко­гда способ связи аргументов согласуется с определенной математиче­ской теорией в школьном курсе математики, относят:

1.Метод геометрических преобразований. Используется как средство обоснования некоторых отношений между элементами евклидовой геометрии. Он состоит из выполнения последовательности шагов: вы­бирается геометрическое преобразование, обладающее свойством, ко­торое позволяет обосновать наличие указанного отношения между объектами евклидовой геометрии; выполняется преобразование, при котором один объект переходит в другой; обосновывается наличие ука­занного отношения между объектами с помощью свойств выбранного геометрического преобразования.

1. Алгебраические методы (уравнений, неравенств, тождественных преобразований).

2. Векторный метод, использующий аппарат векторной алгебры.

3. Координатный метод — способ определения положения точки на прямой, на плоскости или в пространстве с помощью чисел (например, в декартовой системе координат или какой-либо другой). Используя координатный метод, алгебраические уравнения можно истолковать в виде геометрических образов (графиков или фигур) и, наоборот, ис­кать решение геометрических задач с помощью аналитических выра­жений (уравнений, неравенств или их систем).

При доказательстве математических утверждений используются разные математические методы.

Для того чтобы учащиеся овладели прямым и косвенным доказа­тельствами, необходимо сформировать у них определенную последо­вательность умений:

1. Искать доказательство;

2. Проводить доказательство;

3. Оформлять доказательство теоремы.