Числовые последовательности и прогрессии в школьном курсе математики

С понятием числовой последовательности, способами ее задания, особыми последовательностями – прогрессиями – школьников знакомят в девятом классе. С различными последовательностями обучающиеся встречались и ранее: натуральный ряд чисел, последовательность квадратов чисел, последовательность четных чисел.

Числовая последовательность – частный случай числовой функции, а именно функция натурального аргумента. Но традиционно определение последовательности не дают, а поясняют на конкретных примерах, показывая, что последовательность может быть задана словесно, аналитически или рекуррентно.

Последовательность рассматривают как некоторый упорядоченный (занумерованный) набор чисел. При введении понятия последовательности важно добиваться понимания понятий: предыдущий и последующий члены последовательности, номер члена последовательности, способ задания последовательности.

Учение о прогрессиях является существенной, хотя и несколько изолированной от остальных разделов частью курса алгебры. Понятие последовательности находит применение в дальнейшем: при определении степени с действительным показателем, получении формулы сложных процентов, введении понятия определенного интеграла, который используют при нахождении площадей плоских фигур и объемов тел.

Арифметическую и геометрическую прогрессии определяют рекуррентными формулами. Хотя можно было бы определить прогрессии формулами их общих членов, а из них получить рекуррентные формулы. Названия прогрессий мотивируют их характеристическими свойствами:

• в арифметической прогрессии каждый член, начиная со второго, равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов;

• в геометрической прогрессии каждый член, начиная со второго, равен среднему геометрическому предыдущего и последующего членов.

Формулы общих членов прогрессий выводят индуктивно. Их строгое доказательство можно провести методом математической индукции. Если прогрессии определены формулами их общих членов, то потребность в доказательствах отпадает.

Вывод формул суммы n первых членов прогрессий обосновывают свойствами верных числовых равенств.

Из всех геометрических прогрессий выделяют бесконечно убывающие, которые определяют дополнительным условием: модуль знаменателя меньше единицы. Эти прогрессии играют большую роль в математике и ее приложениях.

При рассмотрении таких прогрессий на наглядно-интуитивном уровне вводится важное математическое понятие предела последовательности как числа, к которому стремятся ее члены при неограниченном возрастании их номера n. Такое понимание предела используется при выводе формулы суммы бесконечно убывающей прогрессии. Формула суммы бесконечно убывающей прогрессии используется для обращения бесконечных десятичных периодических дробей в обыкновенные.