12. Методика изучения геометрических величин в школьном курсе математики

Изучение геометрических величин (длин, площадей, объемов) – одна из важнейших тем школьного курса геометрии, имеющая прикладной характер.

Величина – одно из основных понятий математики, возникшее в древности и подвергшееся в процессе развития математики ряду обобщений. Общее понятие величины – непосредственное обобщение конкретных величин (длины, площади, объема, массы и т.п.), свойства которых сформулированы еще в «Началах» Евклида. Впоследствии эта величина получила название положительной скалярной величины, чтобы отличить ее от более общих понятий величины (векторной и др.).

Интуитивно можно представить, что величина бывает больше или меньше, две однородные величины можно складывать. Величину можно делить на любое натуральное число, ее можно измерить. Однако сформулировать в математических терминах ответ на вопрос, что такое величина, совсем не просто. Школьное обучение этого не дает. Поэтому и вопрос об измерении геометрических величин является одним из наиболее трудных как в теоретическом, так и методическом плане.

Процесс измерения величин заключается в следующем. Прежде всего, из данного множества величин выбирают некоторый определенный элемент, который называют единицей измерения. Далее осуществляют операцию измерения, позволяющую при выбранной единице отнести к каждому элементу данного множества действительное число – меру этой величины. Найденная путем измерения мера должна удовлетворять двум условиям:

1. Равным элементам множества соответствуют и равные меры.

2. Сумме двух элементов соответствует сумма их мер.

И в учебной литературе, и в практике преподавания понятия «величина» и «мера» этой величины часто смешиваются между собой. Хотя с точки зрения логики понятия «величина» и ее «мера» (как пишут в учебниках «число, выражающее эту величину») – совершенно различны. Например, такое выражение как «Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту» нужно было бы сформулировать так: «Мера площади треугольника равна половине произведения меры дины его основания на меру длины его высоты». Однако добиваться того, чтобы ученики пользовались столь длинными формулировками нецелесообразно. Для правильного усвоения ими идеи измерения достаточно, чтобы они уяснили себе сущность понятий «величина» и «мера величины» и чтобы, высказывая сокращенную формулировку правила измерения, они понимали, что эта формулировка означает.

В школе изучают конкретные величины – длина, площадь и объем, которые являются скалярными, аддитивными, непрерывными положительными величинами. Программа по математике следующим образом определяет содержание темы по классам.

В I – IV классах: Примеры величин. Единицы их измерения. Примеры зависимостей между величинами (путем, скоростью и временем; площадью и длинами сторон прямоугольника и др.)

В V – VI классах: Примеры величин. Единицы их измерения. Площадь прямоугольника, прямоугольного треугольника. Объем прямоугольного параллелепипеда. Формулы длины окружности и площади круга.

В VII – IX классах: Понятие площади. Площадь прямоугольника, треугольника, параллелограмма, трапеции. Отношение площадей подобных фигур. Площадь круга и его частей.

В X – XI классах: Понятие объема. Формулы объемов прямоугольного параллелепипеда, призмы и пирамиды. Формулы объемов цилиндра, конуса и шара. Формулы площадей: боковой поверхности цилиндра и конуса, поверхности шара.