6. Методика изучения линейной, квадратичной, степенной, логарифмической и показательной функции в школьном курсе математики

Тема «Линейная функция и ее график» является начальным этапом в изучении элементарных функций, предусмотренных программой основной школы. Функция вида y = kx + b, где k и b – некоторые числа, называется линейной. В процессе изучения линейной функции рассматривают две модели: y = kx и y = kx + b. Подметив геометрический смысл параметров k и b, полезно выяснять с учениками, в каком случае графики двух линейных функций совпадают, пересекаются, параллельны; когда линейная функция убывает, а когда возрастает.

Изучение квадратичной функции начинается с наиболее простого вида этой функции y = ax². Вначале рассматривают частный случай, когда а = 1. Затем переходят к ситуации а ≠ 1, строя графики функций для различных значений а > 0 на одном чертеже. Для построения этих графиков нет необходимости заново составлять таблицу значений. В зависимости от значения а, используют растяжение (а > 1) или сжатие (0 < а < 1) графика функции y = x² вдоль оси ординат, а также симметрию относительно оси абсцисс для случая а < 0. После изучения функции вида y = ax² + с, график которой строят сдвигом графика функции y = ax² вдоль оси ординат в зависимости от параметра с, переходят к изучению функции, представляющей полный квадрат двучлена, то есть к функции вида y = a(x + m)². Этот промежуточный этап облегчает понимание сдвига параболы вправо или влево вдоль оси абсцисс. Далее переходят к рассмотрению квадратичной функции общего вида: y = a(x + m)² + n или y = ax² + bx + c. Исследование квадратичной функции полезно увязать с дискриминантом соответствующего квадратного уравнения.

С частными случаями степенной функции обучающиеся знакомятся в курсе средней школы. Из степенных функций с натуральным показателем изучают функции y = x. y = x² и y = x³. Степенная функция с целым отрицательным показателем встречается только в виде частного случая так называемой обратной пропорциональности y = x^-1. Примерами степенной функции с дробным показателем являются функции корень квадратный и корень кубический. Но в основной школе понятие степенной функции не вводится, а каждая из указанных функций имеет свое название. Понятие степенной функции дается в старшей школе. Степенной функцией называется функция вида y = x^p, где p – заданное действительной число. Свойства и график степенной функции существенно зависят от свойств степени с действительным показателем и, в частности, от того, при каких значениях x и p имеет смысл степень x^p. Рассматривают следующие различные случаи в зависимости от показателя степени p:

1. Показатель p = 2n- четное натуральное число.

2. Показатель p = 2n + 1 - нечетное натуральное число.

3. Показатель p = -2n, где n - натуральное число.

4. Показатель p = - (2n-1), где n - натуральное число.

5. Показатель p – положительное действительное нецелое число (0<p<1 и p>1).

6. Показатель p – отрицательное действительное нецелое число.

Важно понимать, что, к примеру, функции корень кубический и y = x^1/3 имеют различные области определения и совпадают только на множестве неотрицательных чисел.

На примере показательной функции можно развить представления о функциях как о моделях процессов и закономерностях связей явлений. Это подчеркивает важную в мировоззренческом плане мысль о том, что широта применимости математических методов, общность математических понятий определяются единством материального мира.

К моменту изучения логарифмической функции ученикам должно быть известно понятие обратной функции и условие, при котором обратная функция существует. Показательная функция как монотонная должна иметь обратную. Эту функцию, обратную показательной функции y = a^x (где а > 0 и а ≠ 1), называют логарифмической и обозначают y = log_ax.