25. Перпендикулярность прямых и плоскостей на плоскости и в пространстве.

Учение о перпендикулярности прямых в средней школе имеет в своей основе понятие угла между прямыми и умение измерять величину угла. Случай прямых появляется при рассмотрении пересекающихся прямых. Величину наименьшего из углов, образованных двумя пересекающимися прямыми, считают углом между между ними. Поэтому величина угла между пересекающимися прямыми не может превосходить . В том случае, когда угол между прямыми равен , прямые наз.. Примеры прямых в окружающей жизни убеждают учащихся в их существовании.

После определения прямых вводится соответствующая символика. Существование прямых показывается конструктивно. Способ решения задачи на построение к прямой, проходящего через данную точку, основывается на свойстве смежных углов; если смежные углы равны, то каждый из них прямой. Заслуживает внимания способ построения прямой к данной прямой, проходящую через данную точку на ней.

Способ построения к прямой, проходящего через точку вне этой прямой.

На рисунке любая точка МО к прямой а равноудалена от концов отрезка АВ ( АВ равноудалены от О). действительно, ΔАКО=ΔВКО, где К – произвольная точка МО к прямой а, поскольку - прямой по построению, АО=ОВ по построению, ОК – общая сторона. Отсюда следует, что АК=ВК.

След.для построения к прямой а через точку М вне ее достаточно на прямой а найти отрезок АВ так, чтобы АМ=ВМ, а затем построить еще одну точку Р так, чтобы АР=ВР. Прямая МР – искомый . это легко доказать. ΔМАР=ΔМВР, так как АВ=ВМ, АР=ВР по построению, МР – общая сторона. Отсюда следует, что

и . ΔАРО=ΔВРО, так как АР=ВР по построению, ОР – общая, по доказанному. Это значит, что . Поскольку эти углы смежные и равные между собой, то они прямые. Таким образом МР а. МР к прямой а имеет весьма примечательное расположение по отношению к отрезку АВ на этой прямой: он к отрезку АВ и проходит через его середину. Поэтому он получил особое имя – серединный к отрезку. Именно свойства серединного к отрезку лежат в основе построения к прямой, проходящей через данную точку. Эти свойства можно сформулировать в виде теорем: если точка лежит на серединном к отрезку, то она равноудалена от концов этого отрезка. Если точка равноудалена от концов некоторого отрезка, то она лежит на серединном к этому отрезку.

После рассмотрения теоремы решаются задачи: через точку Д вне прямой а провести к прямой а. перед решением выяснить какая из двух рассмотренных теорем будет использована при построении. Можно поставить вопросы:

1. как на прямой а построить отрезок, концы которого равноудалены от точки Д?

2. сколько точек достаточно построить,чтобы определить его?

3. Известно ли положение какой-либо точки ? Назовите ее.

4. Сколько точек остается построить, чтобы определить его положение?

После такой беседы по рисунку на доске учащимся можно предложить провести построение самостоятельно. Доказательство правильности построения провести устно.

Перпендикулярность прямых в пространстве

Ввод-ся:

1) перпен-ть прямых (2 прямые перпен., если они пересек. под прямым углом )

2) перпен-ть прямой и пл-ти (прямая пересек. пл-ть перпен. ей, если она перпен. любой прямой, к-ая лежит в данной пл-ти и проходит через точку пересечения)

3) перпен-ть пл-тей (2 пл-ти перпен., если в каждой из них через любую точку проходит прямая перпен. др. пл-ти).