logo
Lec_pL

Лекция 11. Методика изучения координат, векторов и геометрических преобразований в пространстве в школьном курсе стереометрии.

План.

I. Роль и место материала в курсе стереометрии.

II. Методические особенности его изучения.

Содержание лекции:

Попытки введения более современных, чем традиционный синтетический, методов в курс стереометрии неоднократно предпринимались с конца 19 века в силу следующих соображений:

  1. применение более современных методов позволяет существенно упростить и алгоритмизировать решение стереометрических задач и доказательство теорем.

  2. необходимо было осовременить школьный курс стереометрии, приблизить его к насущным проблемам действительности.

  3. большая прикладная значимость и многообразие межпредметных связей соответствующих разделов: векторы – в физике, координаты – в алгебре, геометрические преобразования – в картографии.

В XX веке были созданы новые курсы геометрии, сориентированные на преимущественное использование алгебраического метода (геометрия Шоке), метода геометрических преобразований – учебное пособие Колмогорова, векторный метод – пособие под ред. Скопеца и др.

Но введение в школу этих учебников не увенчались успехом из-за:

  1. отрицательного влияния на развитие пространственных представлений школьников, их геометрической интуиции;

  2. сложности перехода к новой аксиоматике (векторной или метрической);

  3. не совсем достаточно удачного методического решения проблемы создания новых учебников, а также неподготовленности учителей к этому переходу.

В силу указанных причин авторы действующих в настоящее время учебников попытались найти оптимальное сочетание традиционно-синтетических и более современных подходов. При этом координаты, векторы и преобразования стали рассматриваться скорее как объекты изучения, чем как мощные методы решения задач и доказательства теорем.

Место данной темы в курсе стереометрии может быть различным:

а) В начале курса. При этом существенно облегчаются доказательства многих теорем традиционных разделов.

б) После рассмотрения параллельности и перпендикулярности прямых и плоскостей в пространстве. Основное применение в темах многогранниках и телах вращения. (Как в учебнике Погорелова и частично в учебнике Атанасяна).

в) В конце курса стереометрии. При этом появляется возможность показа преимущества рассматриваемых методов перед традиционным при решении задач.

Однако, как правило, здесь не хватает времени на вторичное прохождение материала и возникает опасность путаницы в понятиях.

В учебнике А.В.Погорелова реализована следующая схема:

В учебнике Л.С. Атанасяна:

полигон аппарат

векторы координаты преобразования

(движения)

В учебнике Л.С. Атанасяна наименьшее внимание уделено геометрическим преобразованиям, в учебнике А.В. Погорелова – векторам.

II. Материал о координатах, векторах и преобразованиях в стереометрии подчеркнуть повторяет соответствующий планиметрический материал в действующих учебниках. При этом повторение планиметрии затруднено из-за недостатка времени. Следовательно, такое повторение целесообразно осуществлять в процессе ознакомления с соответствующими стереометрическими фактами и их доказательстве.

Например, при выводе формулы расстояния между точками, как в планиметрии, так и в стереометрии строится прямоугольный треугольник и применяется теорема Пифагора.

Таким образом, в стереометрии эти вопросы изучаются аналогично + этап сведения к планиметрическому аналогу. Поэтому можно использовать следующую методическую схему ее вида этой формулы:

  1. Актуализация планиметрической формулы и идеи ее вывода.

  2. При решении стереометрической задачи на интуитивном уровне записывается пространственный аналог.

  3. Обсуждается возможность переноса идеи вывода планиметрической формулы на стереометрический факт.

  4. Сведения пространственной конфигурации к плоскостной.

  5. Осуществление доказательства по составленному плану:

а) сведения к планиметрическому анализу;

б) применение планиметрической идеи;

6)Закрепление доказательства в соответствии с известными этапами.

В действующих учебниках рассматриваются по существу только основной аппарат метода координат и векторной алгебры. При этом возможности применения этих методов при решении содержательных стереометрических задач и задач из других разделов весьма незначительны, и это оказывает отрицательное воздействие на осознание сущности данных методов в целом.

Учителю необходимо на материале стереометрии закрепить приобретенные ранее представления о существующих методах и их компонентах на основе использования системы специальных упражнений.

В конце изучения данной темы «Координаты, векторы, преобразования» целесообразно провести спаренный урок-семинар (лучше урок-практикум) по одновременному решению задач всеми методами и их сопоставительному анализу.

При этом отдельным группам учеников может быть предложена задача, которую необходимо решить одним из методов (либо на уроке, либо как домашнее задание). В процессе обсуждения решения со всем классом выделяются критерии применимости того или иного метода в данной ситуации, а также его плюсы и минусы.

На практике при решении содержательных стереометрических задач чаще приходится пользоваться более универсальным координатно-векторным методом.

Его использование наглядно можно увидеть при решении следующей задачи:

В треугольной пирамиде ДАВС плоские углы при вершине Д равны по 90 0. Боковые ребра ДА = 6, ДВ = 8, ДС = 24. точка М равноудалена от всех вершин пирамиды. Найти расстояние ДМ. (Решать самостоятельно).

Задания для самостоятельной работы:

  1. Провести сравнительный анализ содержания данного материала по учебникам: а) А.В. Погорелова; б) Л.С. Атанасяна и др.; в) И.М. Смирновой и В.А. Смирнова.

  2. Составить конспект статьи А.Д. Александрова «Так что же такое вектор?» «Математика в школе», № 5 – 1984г., с.39-46.

  3. Показать суть координатно-векторного метода при решении задачи:

  4. В треугольной пирамиде ДАВС плоские углы при вершине Д равны по 90 0. Боковые ребра ДА = 6, ДВ = 8, ДС = 24. точка М равноудалена от всех вершин пирамиды. Найти расстояние ДМ.