logo
Lec_pL

Тема 1. Методика изучения многоугольников в школьном курсе планиметрии.

План.

  1. Роль материала о многоугольниках в обучении математике.

  2. Обзор содержания материала о многоугольниках в школьном курсе математики.

  3. Методические рекомендации по изучению многоугольников.

Содержание лекции:

Роль темы «Многоугольники» в обучении обусловлена следующим:

  1. Многоугольники и их свойства непосредственно являются основным объектом изучения геометрии, позволяющим развить воображение учащихся.

  2. Знания, умения и навыки, связанные с данной темой, необходимы для изучения смежных дисциплин (физики, черчения, труда и других) и в реальной жизни.

  3. Учение о многоугольниках дает основу для использования соответствующего аппарата решения задач и доказательства теорем школьного курса стереометрии и естественным образом способствует развитию логического мышления.

  4. Многоугольники являются полигоном для раскрытия материала о декартовых координатах, геометрических преобразованиях, векторах и др.

  5. Материал важен в мировоззренческом аспекте, в историческом и прикладном ракурсах.

В систематическом курсе планиметрии материал о многоугольниках можно разбить на 3 основных блока.

  1. Учение о треугольниках (7-8 классы) является базовым материалом всей темы, поскольку дальнейшее ее изучение основывается на применении различных свойств треугольников (в частности используются цепочки равных треугольников для доказательства равенства каких либо отрезков, углов при изучении многоугольников. К этому блоку относится следующий материал:

  1. определение треугольника, сопутствующих понятий,

  2. равнобедренный треугольник,

  3. равенство треугольников, аксиома существования треугольника, равного данному,

  4. зависимость между элементами треугольника,

  5. подобие треугольников,

  6. площадь треугольника,

  7. комбинации треугольника с окружностью.

  1. Учение о четырехугольниках (8 класс):

  1. определение четырехугольника и сопутствующих понятий,

  2. частные виды четырехугольников и их свойства (параллелограмм и его виды: прямоугольник, ромб, квадрат, трапеция),

  3. площади четырехугольников.

  1. Учение о многоугольниках (9 класс).

  1. общее понятие о многоугольниках,

  2. правильные многоугольники и их построение,

  3. комбинации правильных многоугольников с окружностью.

В учебнике А.В. Погорелов: сначала треугольники (7 класс), четырехугольники (8 класс), многоугольники (9 класс). Происходит постепенное обобщение материала, позволяющее учащимся последовательно установить естественные взаимосвязи между предыдущим и последующими темами.

В учебнике Л.С. Атанасяна смешанный подход: треугольники (7 класс), многоугольники (обзор, 8 класс), четырехугольники, правильные многоугольники (9 класс).

Само определение многоугольника (и его частных видов) производится в основном с двух позиций:

а) как одномерного объекта – простая замкнутая ломанная,

б) как двумерного объекта – плоского многоугольника, включающего в себя кроме простого многоугольника его внутреннюю область.

Оба подхода имеют как достоинства, и так и недостатки. Если мы вводим понятие многоугольника как одномерного объекта, то здесь имеем возможность вывести данное определение из основных понятий – точек и отрезков прямой, то есть четко показать преемственность вводимых понятий. Определяя же многоугольник как плоский, мы имеем возможность в дальнейшем рассмотреть сопутствующие элементы – медиану, высоту и биссектрису треугольника как объекты, принадлежащие треугольнику, а так же ввести понятие площади многоугольника.

Методические особенности изучения многоугольников рассмотрим на примере наиболее характерной темы данного материала «Четырехугольники»

Схема изучения данной темы:

  1. Определение четырехугольника и выделение различных их видов.

  2. Доказательства существования каждого вида.

  3. Свойства и признаки каждого вида.

  4. В конце изучения – классификация.

Изучение признаков и свойств параллелограмма связано с формулировкой необходимого и достаточного условия того, что четырехугольник является параллелограммом. Данный материал в учебнике А.В. Погорелова изучается вперемежку, по учебнику Л.С. Атанасяна сначала рассматриваются свойства, а затем признаки, как обратные теоремы. Свойства параллелограмма обычно вводятся с помощью практической работы вида: начертить ряд параллелограммов, измерить противолежащие стороны и углы. Сделать вывод.

В конце изучения темы целесообразно провести классификацию выпуклых четырехугольников, изучаемых в школе. Данная классификация зависит от того, как определить трапецию. Возможны два подхода:

  1. трапеция, есть четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие непараллельны (Киселев, Погорелов, Атанасян). Здесь понятия трапеции и параллелограмма – несовместимы (объемы этих понятий не пересекаются)

  2. трапеция, есть четырехугольник, у которого две стороны параллельны (Бескин Н.М.). здесь параллелограмм является одним из видов трапеции. Первое определение не позволяет последовательно рассмотреть цепочку частных видов четырехугольников, классификация четырехугольников при этом менее четкая логически.

При изучении материала о многоугольниках важное место занимает теорема о сумме углов выпуклого n – угольника.

В действующих школьных учебниках при доказательстве предлагают обычно разбить данный многоугольник на треугольники, соединив диагоналями одну из вершин (фиксированную) со всеми остальными вершинами.

Учитель может предложит другой способ разбиения n – угольника на треугольники , взяв точку О внутри многоугольника и соединив ее со всеми вершинами многоугольника.

Методически оправданы такие подходы при доказательстве теорем, которые отличны от подходов, используемых в действующих школьных учебниках.