logo
Lec_pL

Тема 3. Изучение взаимного расположения прямых на плоскости. Параллельность и перпендикулярность прямых.

План.

  1. Цели изучения параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости.

  2. Методика изучения параллельности прямых на плоскости в школьном курсе.

  3. Изучение перпендикулярности прямых в курсе планиметрии.

Содержание лекции:

  1. Выделим следующие основные цели изучения параллельности и перпендикулярности прямых в школьном курсе:

  1. через аксиому параллельных в школьный курс вводится евклидова геометрия;

  2. материал о параллельности и перпендикулярности необходим в дальнейшем для изучения тем «Четырехугольники», «Координаты», «Векторы», «Геометрические преобразования» и др.

  3. позволяет более глубоко осознать роль аксиом при построении курса геометрии;

  4. большое практическое значение (самостоятельно привести примеры).

  1. В настоящее время практикуются два варианта изложения вопросов о параллельности и перпендикулярности.

1 вариант (учебник Л.С. Атанасяна – 7 класс).

Вначале рассматривается частный случай пересечения прямых – перпендикулярность прямых, затем в отдельную главу вынесен материал о параллельных.

2 вариант (учебник А.В. Погорелова).

Вопросы о параллельности и перпендикулярности прямых рассматриваются вперемежку друг с другом:

а) аксиома параллельных (§1),

б) перпендикулярные прямые (§2),

в) параллельные прямые, признаки параллельности прямых, свойства параллельных прямых, сумма углов треугольника (§4),

г) существование и единственность перпендикуляра к прямой (§4),

д) построение перпендикулярной прямой (§5),

е) 8 класс, тема «Четырехугольники» (§6), параллельный перенос – в теме «Движение» (§9).

При любом варианте изложения данного материала следует начать с вопроса о взаимном расположении двух прямых на плоскости. Это можно осуществить в виде эвристической беседы:

  1. Могут ли две прямые иметь одну общую точку?

  2. Могут ли две прямые иметь две общие точки?

  3. Могут ли иметь бесконечное множество общих точек?

  4. Могут ли не иметь общих точек?

Само определение параллельных прямых встречается в двух вариантах:

  1. А.Н. Колмогоров: прямые параллельны, если они не пересекаются либо совпадают.

Погорелов, Атанасян: прямые параллельны, если они не пересекаются. После введения определения необходимо доказать существование параллельных прямых. В различных учебниках теорема существования рассматривается по-разному.

Колмогоров: после введения параллельных прямых доказывается теорема: «Центрально-симметричные прямые параллельны», а затем – аксиома параллельных.

Погорелов: в §4, сумма углов треугольника после признаков параллельности, сопоставляя утверждение задачи 8, решение которой рассматривается в учебнике и аксиомы IХ (акс. параллельных), приходят к выводу: «через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести параллельную ей прямую, и только одну».

В задаче 8 даны «прямая АВ и точка С, не лежащая на этой прямой. Докажите, что через точку С можно провести прямую, параллельную прямой АВ».

Атанасян: В вопросе о перпендикулярных прямых до аксиомы параллельности рассматривается важное следствие: «две прямые, перпендикулярные к третьей прямой, не пересекаются». Таким образом, доказывается существование параллельных прямых.

Аксиома параллельных также формулируется по-разному. Если у Погорелова – «через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести на плоскости не более одной прямой, параллельной данной», а затем доказывается, что такая прямая есть, то у Атанасяна сразу принимается за аксиому, что через точку можно провести единственную прямую, параллельную данной, что является более целесообразным вариантом, поскольку это интуитивно и так понятно.

Методика изучения признаков параллельности прямых.

Вначале целесообразно выяснить вопрос: зачем нужны признаки параллельности? Дело в том, что определение не дает возможности проверки (установления) параллельности прямых. Невозможно на бесконечности проверить пересекаются ли прямые или нет. Поэтому и нужны специальные признаки, по которым можно судить о параллельности.

Первый признак – две прямые, параллельные третьей, параллельны» не вызывает сложностей у школьников.

Вспомнив необходимый материал, учащиеся решают задачу на построение двух прямых b и с, параллельных данной прямой а. выясняется, как соотносятся между собой прямые b и с. предположение противного сразу приводят к противоречию с аксиомой параллельных.

Следующие признаки связаны с рассмотрением углов, получаемых при пересечении двух прямых третьей.

После доказательства одного из признаков формулируются все остальные в виде самостоятельного задания для школьников (или устно).

Задачный материал по теме «Признаки параллельности прямых» целесообразно дополнить поисковыми заданиями без заранее данного чертежа, смысл которых состоит в правильности представления той или иной конфигурации, взгляд на проблему «со стороны». Их выполнение может быть осуществлено в виде лабораторной работы.

Например, задача.

  1. Могут ли прямые АВ и СD быть параллельными? Ответ объяснить.

  2. Внутренние односторонние углы при двух прямых а и b и секущей с равны α и . Могут ли а и b быть параллельны?

  3. Прямые АВ и СD – параллельны. . Чему равен ?

Возможно использование более свободных по характеру выполнения заданий на составление задач по чертежу.

Например: используя рисунок, составьте несколько задач.

  1. 2)

По рис.2: а) СЕ=ЕD, ВЕ=ЕF;

б) ;

в) ;

г) Как построить сумму АD+ВС?