Lec_pL

Тема 4. Геометрические построения в курсе планиметрии. Методика обучения решению задач на построение.

План.

Роль и место геометрических построений в школьном курсе.
Методика обучения решению задач на построение.
Основные методы решения задач на построение в школьном курсе и некоторые рекомендации по их использованию.

Содержание лекции:

Задачи на построение – это задачи, в которых требуется построить некоторую геометрическую фигуру по заранее заданным данным с помощью ограниченного набора чертежных инструментов (чаще всего – линейки и циркуля).

Роль задач на построение в школьном курсе:

Способствует развитию воображения школьников, так как еще до решения данной задачи приходится отчетливо представить искомый образ.
Развивают конструктивные способности учащихся и закрепляют соответствующие чертежные навыки.
Анализ и исследование полученного решения, рассмотрение взаимосвязей между данными и искомыми элементами содействуют развитию логического мышления школьников, в частности – мыслительных операций: анализа, синтеза, абстрагирования; пробуждают их инициативу.
Способствуют прочному закреплению теоретического материала курса.

Тематическое планирование материала, связанного с геометрическими построениями, предполагает следующее его распределение по этапам:

Ознакомительный этап (1-4 кл.). Здесь школьники впервые знакомятся с чертежными инструментами – линейкой, циркулем, треугольником и решают простейшие задачи на построение прямой, отрезка, окружности, угла.
Пропедевтический этап (5-6 кл.). более значительное внимание к геометрическим построениям подготавливает учащихся к решению более сложных задач систематического курса. Используются линейка, циркуль, транспортир, треугольник. Рассматривается построение параллельных и перпендикулярных прямых с помощью угольника и линейки; треугольника с помощью линейки, циркуля и транспортира; окружности, квадрата, прямоугольника.
Систематический курс геометрии (7-11 кл.).

7 класс. Здесь впервые учащиеся встречаются с основным требованием, предъявляемым к геометрическим чертежам – все построения должны выполняться только при помощи циркуля и линейки. Это требование вытекает из двух постулатов Евклида в «Началах»: а) от всякой точки до всякой точки можно провести прямую; б) из всякого центра любым раствором циркуля можно описать круг. При этом возникает необходимость доказательства того, что построенная фигура удовлетворяет требованиям задачи. В 7 классе учащиеся знакомятся с элементарными задачами на построение, построение окружности, вписанной и описанной около треугольника; кроме того, учащиеся усваивают первый общий метод решения задач на построение – метод геометрических мест (метод пересечений).

8 класс. В теме «Четырехугольники» решаются соответствующие задачи на построение методом геометрических мест; в теме «Движения» – используются все виды движения для решения задач на построение; в теме «Декартовы координаты на плоскости» рассматриваются построения на координатной плоскости (построение прямой, окружности, точек пересечения).

9 класс. В теме «Подобные фигуры» - задачи на построение с использованием гомотетии и преобразования подобия; в теме «Правильные многоугольники» – задачи на построение вписанных и описанных правильных многоугольников.

(10-11 классы). В стереометрии рассматриваются два вида геометрических построений: а) воображаемые построения, основывающиеся только на аксиомах стереометрии (часто используются при решении конструктивных задач типа «Докажите, что через точку вне плоскости можно провести…»; б) построения на проекционном чертеже, когда указываются кроме точек фигуры их проекции на проекционной плоскости.

Решение задач на построение выполняет свои указанные выше функции лишь при условии, когда школьники отчетливо поймут и прочно усвоят известный процесс решения этих задач, состоящий из четырех этапов, с которыми учащиеся знакомятся еще в 7 классе:

анализ; 2) построение (синтез); 3) доказательство; 4)исследование.

Не все указанные этапы с самого начала обязательно должны явно присутствовать при решении задач на построение. В простейших конструктивных задачах, где алгоритм построения очевиден, допустимо не проводить анализ задачи в явном виде; если же доказательство непосредственно следует из построения, его можно также опустить (например, при построении в 7-8 классах обычно либо отсутствует, либо ограничивается проверкой выполнимости каждой операции и нахождением количества решений (если возможно).

Рассмотрим на примере следующей задачи на построение реализацию указанных этапов.

Задача. Построить треугольник по данному периметру и двум его внутренним углам α и γ.

После рассмотрения основных элементарных задач на построение, навыки, в решении которых обрабатываются до автоматизма, учащиеся приступают к знакомству с первым общим методом решения задач на построение, предварительно рассмотрев понятие геометрического места точек (Г.М.Т.). При введении понятия Г.М.Т. необходимо обратить внимание школьников на следующий факт: при определении того, является ли данная фигура геометрическим местом точек, обладающих определенным свойством, необходимо фактически проверить два взаимно обратных утверждения:

любая точка фигуры обладает указанным свойством;
любая точка, обладающая данным свойством принадлежит этой фигуре.

Метод геометрических мест сводится к отысканию некоторого множества точек, характеризуемого условием, имеющим вид конъюнкции , где Р₁(х) – фигура, удовлетворяющая первому условию, Р₂(х) – фигура, удовлетворяющая второму условию и т.д.

В качестве первой задачи, решаемой М.Г.М. целесообразно предложить школьникам задачу, уже известную им – построение треугольника по трем сторонам. Построив одну из заданных сторон, находим третью вершину, предварительно выделив условия, каким она удовлетворяет:

а) находится на расстоянии b от точки А (это окружность с центром в точке А и радиусом b);

б) на расстоянии а от точки В.

Точка С будет являться пересечением этих двух геометрических мест точек (окружностей). Правда, здесь надо еще одно Г.М.Т. рассмотреть – заданную полуплоскость относительно прямой АВ. Далее переходим к решению задач М.Г.М. типа№32: построить треугольник по стороне и проведенным к ней медиане и высоте.

Следующий метод задач на построение – метод координат (8 класс) или алгебраический метод. Он сводится к построению фигур на координатной плоскости, исходя из имеющихся уравнений этих фигур. У школьников он особых проблем не вызывает в силу его алгоритмичности, достаточно широкого знакомства с ним как на уроках алгебры, так и геометрии.

Пример: Построить геометрическое место точек плоскости, для которых .

Метод движений сводится к подбору такого движения, в результате которого образуется некоторая вспомогательная фигура, удовлетворяющая двум условиям:

она может быть построена по данным задачи;
она связана с искомой так, что ее построение обеспечивает построение искомой фигуры.

Наибольшие затруднения у школьников вызывают задачи на построение, решаемые методом подобия (9 кл.) хотя непосредственно таких задач немного, учителю следует в эвристической беседе при решении одной из задач на этапе анализа подвести школьников к выводу, что условие соответствующих задач целесообразно разбить на две части, одна из которых определяет «форму» искомой фигуры (то есть определяет ее с точностью до подобия), а другая – ее размеры. По первой части строят фигуру, подобную искомой, а затем преобразовывают ее в искомую с учетом второй части.

Содержание