Основне рівняння динаміки обертального руху. Момент інерції

Тверде тіло з нерухомою віссю обертання під дією сил, результуючий момент яких відносно осі не дорівнює нулю, приводитиметься в обертальний рух з певним кутовим прискоренням. Знайдемо залежність між результуючим моментом сил і кутовим прискоренням обертального руху тіла.

Уявляючи тіло як систему матеріальних точок, розглянемо одну з них – з масою mi, що лежить на відстані від осі обертання і перебуває під дією сили . Маємо на увазі, що сила – тангенціальна, бо тільки така сила може впливати на обертання.

Застосувавши до розглядуваної точки другий закон механіки

Fi=miai (1)

і ввівши замість тангенціального прискорення кутове, однакове для всіх точок тіла, матимемо:

Fi=miri (2)

де  – кутове прискорення. Оскільки в динаміці обертального руху істотну роль відіграє момент діючої сили, то для введення його помножимо вираз сили (2) на плече г:.

Mi=miri2 (3)

де Мі –момент сили Fі відносно осі обертання ОО'.

Записавши такі залежності для всіх матеріальних точок, на які поділено тіло, і взявши їх суму, дістанемо де – результуючий момент обертаючих сил;  – кутове прискорення, однакове для всіх точок, можна винести за знак суми (4)

Вираз (4) є основним рівнянням динаміки обертального руху твердого тіла. Він аналогічний рівнянню динаміки поступального (прямолінійного) руху F=ma, тільки для обертального руху сила замінюється моментом сили, лінійне прискорення –кутовим, а маса як міра інертності – величиною Останню називають моментом інерції тіла відносно осі обертання і позначають буквою I: (5) де – добуток маси і-ї точки на квадрат відстані від осі обертання є моментом інерції матеріальної точки.

Момент інерції є мірою інертності тіла в обертальному русі. Це скалярна величина; в СІ момент інерції виражають у кг • м2.

Остаточно основне рівняння динаміки обертального руху твердого тіла записують у такому вигляді: (6)

При сталому моменті інерції тіла кутове прискорення прямо пропорційне результуючому моменту діючих сил. Якщо результуючий момент дорівнює нулю, то кутове прискорення також дорівнює нулю, отже, тіло перебуває в стані спокою або рівномірного обертального руху.