22.Паралельність і перпендикулярність прямих на площині. Методика вивчення.

Приступаючи до вивчення паралельності прямих на площині доцільно виділити для учнів 4 блоки в змісті навчального матеріалу: 1) паралельність прямих у просторі, мимобіжні прямі 2) паралельність прямої і площини 3) паралельність площин у просторі 4) паралельне проектування як спосіб зображення просторових фігур на площині. Вивчення першого блоку слід почати з розгляду можливих положень 2-х прямих а і в на площині і в просторі. Потім вводиться значення паралельних і мимобіжних прямих. Важливо наголосити, що означення 2-х паралельних прямих у просторі включає 2 суттєві властивості: 1) лежати в одній площині 2) не перетинатися. Кожна з цих властивостей необхідна і лише обидві разом достатні для того, щоб дві прямі в просторі вважались паралельними. Учні повинні добре усвідомлювати означення і ознаку паралельних прямих, розуміти різницю між цими двома твердженнями, доводити ознаку. Вивчення другого змістового блоку не викликає в учнів особливих труднощів. Пояснення нового матеріалу доцільно почати із з’ясування (на основі моделей прямої площини) можливих випадків взаємного розміщення прямої і площини в просторі. Учні колективно доходять висновку, що пряма а може лежати в площині α і не лежати в ній. В другому випадку теж можливі два варіанти: 1) пряма а і площина α не перетинаються 2) пряма а і площина α перетинаються в одній точці. Після цього вводиться означення паралельних прямої і площини. При доведенні ознаки паралельності прямої і площини доцільно відразу ж сформулювати мету доведення – треба довести що пряма а , яка не належить площині α і паралельна прямій а₁ , цієї площини, не може перетнути площину α. Паралельність площин вивчається за тією ж самою схемою: спочатку формулюються означення паралельних площин після розгляду на моделях можливих положень двох площин у просторі. Учні без особливих труднощів з’ясовують два можливі положення і за аналогією з попередніми означеннями паралельності прямої і площини самі формулюють означення паралельних площин. Твердження про існування площини, паралельної даній площині дуже нагадує учням аксіому паралельних прямих в планіметрії. Доведення цієї теореми доцільно дати учням лише в плані ознайомлення і не вимагати від усіх уміння відтворювати її доведення.

Щодо вивчення перпендикулярності прямих і площин, то цей матеріал можна розбити на три блоки: 1)перпендикулярність прямих у просторі 2)перпендикулярність прямої і площини 3)перпендикулярність площин. Методична схема викладення нового матеріалу: спочатку вводиться означення перпендикулярності відповідних об’єктів, потім формулюються і доводяться ознаки їх перпендикулярності. У зв’язку з вивченням перпендикулярності прямих у просторі треба повторити відповідний матеріал з планіметрії. Взагалі відомі два види означень перпендикулярних прямих у просторі:1)дві прямі називаються перпендикулярними, якщо вони перетинаються під прямим кутом 2)дві прямі називаються взаємно перпендикулярними, якщо кути між ними дорівнюють 90 градусів. Друге означення охоплює і прямі, що не перетинаються, тобто мимобіжні прямі. Відповідно до цього прийнято і два означення перпендикулярності прямої і площини:1)пряма, що перетинає площину, називається перпендикулярною до площини, якщо вона перпендикулярна до будь-якої прямої, яка лежить в даній площині і проходить через точку перетину; 2)пряма і площина називаються перпендикулярними, якщо пряма перпендикулярна до кожної прямої, яка лежить у площині. Перевага першого означення в тому що тут вказується умова перетину прямої і площини, тому цей факт доводити не потрібно. Дві площини, що перетинаються називаються перпендикулярними, якщо третя площина, яка перпендикулярна до прямих перетину цих площин, перетинає їх по перпендикулярних прямих. Теореми, які є ознаками перпендикулярності в просторі двох прямих, прямої і площини, двох площин можна доводити різними способами. Здебільшого доведення виконується шляхом розгляду паралелограмів і пар рівних трикутників. Важливою в даній темі є теорема про три перпендикуляри. До її формулювання входить пряме і обернене твердження. Тому і в доведенні варто виділити дві частини, в яких доводиться достатність і необхідність. Але передусім користуючись малюнком доцільно символічно записати умову і висновок до кожної частини доведення, а також виділити кольоровою крейдою кожен перпендикуляр. Дана теорема застосовується в подальшому у розв’язанні задач, пов’язаних з многогранниками і тілами обертання.