12. Методика вивчення тотожних перетворень в основній школі. Перетворення цілих виразів.

В курсі алгебри перетворення розподіляються на 2 класи:

1) тотожні перетворення – перетворення виразів.

2) рівносильні перетворення – перетворення формул.

У випадку, коли виникає потреба у спрощенні однієї частини формули, в ній виділяється вираз, який перетворюється (використовується певне тотожне перетворення). Відповідний предикат в цьому разі не змінюється. Наприклад: 15х-6х=36; 9х=36. Шкільна практика свідчить, що при вивченні різних видів тотожних перетворень доцільним є алгоритмічний підхід. Це означає, що вивчення кожного з видів перетворень має завершуватись (або починатись) формулюванням правила (алгоритму) перетворення.

Першим, новим для учнів перетворенням, з яким вони стика­ються в курсі алгебри 7 класу, є зведення одночленів до стандарт­ного вигляду. Мотивується це перетворення потребою спрощення одночлена, одержаного при множенні, утворенні добутку двох одночленів. Важливо при цьому підкреслити теоретичну основу виконання перетворення: у разі зведення одночлена до стандарт­ного вигляду використовуються переставний, сполучний закони множення і правило множення степенів з однаковою основою.

Після розгляду кількох прикладів варто сформулювати прави­ло: щоб привести одночлен до стандартного вигляду, треба пере­множити числові множники і степені змінних з однією основою; одержане число поставити в добутку на першому місці.

Вивчення множення одночленів завершується розв'язуванням кількох вправ на виконання оберненого перетворення - подання даного одночлена у вигляді добутку двох одночленів, з яких один заданого вигляду. Наприклад, представити одночлен у вигляді добутку двох одночленів, з яких один є . Такі уміння потрібні будуть надалі під час розкладання мно­гочленів на множники.

Піднесення одночленів до степеня не викликає труднощів в учнів. Проте деякі з них забувають підносити до степеня коефі­цієнт.

До основних видів тотожних перетворень многочленів нале­жать: зведення многочленів до стандартного вигляду, додавання і віднімання многочленів, множення одночлена на многочлен і обернене перетворення (розкладання многочлена на множники способом винесення спільного множника за дужки), множення многочлена на многочлен і обернене перетворення (розкладання многочлена на множники способом групування).

Зведення многочлена до стандартного вигляду виконується зведенням подібних членів. Це перетворення фактично відоме учням 5-6 класів, але там його назва інша - зведення подібних доданків. Важливо, щоб учні могли пояснити теоретичну основу цього перетворення і правило його виконання (щоб звести подіб­ні члени, треба додати їх коефіцієнти і приписати до одержаного числа співмножником спільну буквену частину подібних членів).

Додавання і віднімання многочленів являє собою позначення цих дій і зведення подібних членів. При цьому учні повинні доб­ре знати правило відкриття дужок, перед якими стоїть знак «+» або «-».

У курсі алгебри вивчається й обернене перетворення. Тому учні мають знати правило взяття многочлена в дужки, якщо пе­ред ними стоїть знак «+» або «-».

Множення одночлена на многочлен - теж фактично відоме учням перетворення, з яким вони стикалися в 5-6 класах, вивча­ючи розподільний закон множення числа стосовно додавання. Труднощі у сприйманні виникають в окремих учнів під час ви­вчення оберненого перетворення - розкладання многочленів на множники способом винесення спільного множника за дужки. При вивченні цього тотожного перетворення важливо мотивувати потребу в ньому.

доцільно сформулювати учням правило розкладання многочленів на множники способом винесення спільного множника за дужки:

1) знайти спільний множник всіх членів многочлена;

2) кожний член многочлена по­дати у вигляді добутку двох множників, з яких один спільний;

3) винести спільний множник за дужки, спираючись на розподі­льний закон множення.

Практика свідчить про доцільність виділення спеціального правила відшукання спільного множника членів многочлена. Для цього треба:

1) знайти найбільший спільний дільник всіх коефіцієн­тів членів;

2) помножити його на степені змінних з найменшим показником, з яким вони входять до всіх членів многочлена.

Типовою помилкою, яку учні допускають, виконуючи зазна­чене тотожне перетворення, є така: учні не ставлять в дужках число 1 замість члена, який збігається зі спільним множником після його винесення за дужки. Тому прикладам на зразок 18х³ – 12х:² + 6х =

6х (Зх² - 2х + 1) треба приділити належну увагу.

Чинна програма передбачає вивчення в 7 класі п'яти формул скороч. множення: ;

.

Доведення формул скороч. множ. не викликає труднощів. Вони виникають у частини учнів підчас застосування формул, особливо у зворотному порядку. Запам'ятовуванню формул і їх застосуванню сприяє вміння учнів дати словесне формулювання формули.. Перш ніж братися до застосування формул для скороч. множ. виразів і виконання оберненого перетворення, треба розв'язати кілька усних вправ на знаходження квадратів одночленів з числовими коефіцієнтами, на запис одночлена у вигляді квадрату одночлена. Система вправ на застосування формул скороченого множен­ня має містити і вправи для усних обчислень. Наприклад: 41 * 39 = (40 + 1) • (40 - 1) =1 600 -1 = 1 599; 41² - 39² =

= (41 + 39) • (41 - 39) = 80 • 2 = 160.

Треба передбачити систему вправ на ефективне використання формул скороч. множ. до розв'язування рівнянь, спро­щ. виразів, доведення тотожностей, виведення формул наближ.обчислень.