18.Методика вивчення окремих видів функцій у курсі алгебри 7-9 класів.

За чинною програмою поняття функції і відповідне означення явно вводяться в 7 класі.

Зважаючи на те що програма курсу алгебри 7 класу перевантажена навчальним матеріалом, який закладає ос­нови цього навчального предмета, проект нової програми передбачає вводити поняття функції і вивчати функції у = кх + Ь, у=кх, у=к/х, і у 8 класі, а функцію у = ах2 + Ьх + с, -у 9 класі.

Основна мета вивчення - сформувати уявлення про функції як математичні моделі залежності між величинами й об'єктами будь-якої природи; на прикладах прямої й оберненої пропорційності ввести поняття про основні способи задания функцій, розглянути зазначені функції та їх графіки, табличні способи задания.

Поняття функції, як і поняття числа, пройшло довгий історичний шлях уточнення і розширення. Воно виникло з потреб практики й таких наук, як фізика, хімія, природознавство таін. Явного означення функції ще не було навіть тоді, коли І. Ньютон (1643-1727) та Г. Лейбніц вже відкрили диференціаль­не й інтегральне числення (XVIII ст.). Вперше термін «функція» вжив у своїх працях Г. Лейбніц, пов'язуючи його з геометрични­ми уявленнями. Він також ввів терміни «змінна», «константа».

Для свідомого засвоєння відомостей про функцію в курсі алгебри треба проводити, почи­наючи з 1 класу, функціональну пропедев­тику-підготовчу роботу, спрямовану на формування поняття функції, способів її задання, властивостей окремих видів функції. У 1 класі, розв'язуючи текстові задачі, учні спостерігають залеж­ність вартості товару від ціни, зміну результатів дій від зміни компонентів, обчислюють значення виразів. У 3 класі учні обчис­люють шлях залежно від швидкості і від часу, визначають пло­щу прямокутника залежно від довжини однієї зі сторін та ін. У 6 класі будують діаграми, розв'язують текстові задачі, озна­йомлюються з поняттям «координатна площина», будують графі­ки залежностей, ще не називаючи їх функціями.

Перш ніж вводити координатну площину, доцільно повторити поняття «координатна пряма» і дві задачі, які з нею пов'язані: 1) визначення положення точки на координатній прямій за зада­ною її координатою; 2) визначення координати точки на коорди­натній прямій. Треба ще раз наголосити, що положення точки на координатній прямій визначається заданиям одного числа - коор­динати цієї точки.

Формулювання означення функції, що вводиться. Залежно від виду функції і підготовленості учнів означення можна ввести конкретно-індуктивним методом (коли учні підводяться до само­ стійного виділення-суттєвих властивостей і формулювання озна­чення) або абстрактно-дедуктивним методом (коли вчитель сам формулює означення і наводить приклади введеного виду функ­ції). Розв'язування усних вправ на підведення під поняття функ­ції, що вивчається. Серед пропонованих функцій мають бути й такі, що не належать до розглядуваного виду.

Якщо вводити означення лінійної функції конкретно-індук­тивним методом, то можна запропонувати учням записати у зага­льному вигляді залежності між змінними у розглянутих чотирьох прикладах у вигляді однієї формули, використавши позначення незалежної змінної буквою х, залежної - буквою у, коефіцієнт при змінній - буквою к, а вільний сталий член - буквою Ь, Учні прийдуть до формули , Вчитель зауважує, що всі функції, які можна задати такою формулою, називають лінійними. Учням пропонується, скориставшись одержаною формулою, сфор­мулювати означення лінійної функції. Доцільно в цьому разі звер­нути увагу учнів на суттєві властивості лінійної функції, які легко помітити зі структури формули, що задає цю функцію: це дво­член, у якого один член є добутком числа на перший степінь не­залежної змінної, а другий член - число. У загальному вигляді між членами стоїть знак плюс. Якщо між членами є знак мінус, то він стосується вільного члена Ь. Несуттєвими ознаками є значен­ня коефіцієнта к і вільного члена Ь. Вони можуть бути будь-якими числами, несуттєвим є порядок розташування членів двочлена.

Систему вправ на підведення під поняття лінійної функції до­цільно побудувати, варіюючи несуттєві ознаки - значення к і Ь.

Лінійна функція застосовується вже при вивченні систем двох лінійних рівнянь з двома невідомими, зокрема при введенні гра­фічного способу розв'язування таких систем і навіть раніше, коли учні вивчають графік лінійного рівняння з двома невідомими.

Окремим випадком лінійної функції є пряма пропорційність, оскільки формула у = кх одержується з формули у = кх + Ь при b = 0. Тому вивчення прямої пропорційності можна почати саме з таких міркувань. Після цього учні самі можуть сформулювати означення прямої пропорційності і навести приклади залежнос­тей, які задаються формулою у = кх. Як окремий випадок лінійної функції пряма пропорційність має графіком пряму. При розв'язуванні вправ, що стосуються лінійної функції і прямої пропорційності, треба не тільки буду­вати графіки відповідних функцій за заданою формулою, а й розв'язувати обернені вправи: за відомим графіком знайти формулу, що задає функцію.

Під час вивчення функцій у = х2 і у = х3 у 7 класі можна навес­ти приклади залежностей між змінними, які приводять до цих функцій (залежність площі квадрата від довжини його сторони S = а2, залежність об'єму куба від довжини його сторони V= а).

Вивчення оберненої пропорційності у 8 класі природно пов'язати з різноманітними прикладами залежностей між змін­ними, які відомі учням із життєвого досвіду або із суміжних пред­метів, зокрема геометрії, фізики та ін. На відміну від вивчених раніше функцій областю визначення оберненої пропорційності не є множина всіх чисел, оскільки х має бути відмінним від нуля, Після побудови графіків кількох функцій при додатних і від'ємних х учні повинні зробити висновок щодо розташування гіперболи у відповідних координатних чвертях залежно від знака к, характеру зміни значень функції із зростанням значень аргу­менту. На цей час учні вже мають з курсу геометрії поняття про осьову і центральну симетрію. Доцільно звернути увагу на те, що за певного значення к графік (гіпербола) симетричний щодо по­чатку координат.

При вивченні квадратичної функції у = ах2 + Ьх + с, де а 0, в 9 класі на етапі мотивації неважко навести приклади залежно­стей, які задаються функцією у = ах2, котра є окремим випадком квадратичної, і важче підібрати аналогічні приклади для загально­го вигляду функції.

Найскладнішим для сприймання учнів є навчальний матеріал, що стосується побудови графіка квадратичної функції загального вигляду у - ах2 + Ьх + с. Тому не випадково учнів готують до цьо­го шляхом послідовного розгляду питань побудови графіків функ­цій у - ах2, у~ах2 + п, у = а(х + т)2, спираючись на -побудову відомого графіка функції у = х2. З метою актуалізації опорних знань і вмінь треба повторити розв'язування вправ на виділення квадрата двочлена з тричлена ах2 + Ьх + с за певних числових значень а, Ь, с і лише після цього перейти до розв'язування задачі в загальному вигляді.

Навчальний матеріал, що стосується побудови графіків і ви­вчення властивостей окремих видів квадратичної функції і зага­льного її вигляду, дає змогу в класах з поглибленим вивченням математики або на заняттях математичного гуртка розглянути на рівні узагальнення побудову графіків складніших функцій шля­хом геометричних перетворень графіків відомих функцій. При цьому доцільно звести в систему основні вісім перетворень, які дають змогу урізноманітнити систему вправ на побудову графіків функцій. Це підготує учнів, які навчаються на підвищеному рівні, будувати графіки складніших тригонометричних, степеневих, показникових і логарифмічних функцій в курсі алгебри і початків аналізу.