Методика изучения показательной и логарифмической функций в средней школе.

Ознакомление учащихся с показательной и логарифмической функциями начиная с изучения свойств степеней и логарифмов.

Курс алгебры знакомит учащихся с понятием степени с рациональным показателем. Таким образом для любого основания степени (где , ) можно построить функцию: , , область определения которой – множество действительных чисел. Необходимо ввести определение степени с иррациональным показателем. Используемое свойство степени с основным, например, большим единицы (возрастании), рациональное приближение иррационального числа α: r₁< α< r₂. Исходя из графического изображения зависимости показателя степени и значения степени, показывается, что найдется такое значение y, которое будет наибольшим среди всех a^r1 и наименьшим среди всех a^r2 , которое можно считать значением a^α.

Затем формируется определение показательной функции: функция, заданная формулой y=a^x ( , ), называется показательной функцией с основанием a, и формулируемые основные свойства: D(a^x)=R; E(a^x)=R_Т; a^x возрастает при a>1 и a^x убывает при 0<a<1; напоминаются основные свойства степеней. Т.о. показательная функция есть систематизация, обобщение и расширение знаний учащихся о свойствах степени.

Логарифмическая функция – новый математический объект для учащихся. К понятию логарифма учащихся подводят в процессе решения показательного уравнения a^x=b в том случае, если b нельзя представить в виде степени с основанием a. Наше уравнение в случае b>0 имеет единственный корень, который называют логарифмом b по основанию a и обозначают log_ab, т.е. a^logab=b. Одновременно с введением нового понятия учащиеся знакомятся с основным Логарифмическим тождеством. При работе с логарифмами применяются следующие их свойства, вытекающие из свойств показательной функции:

При любом ( ) и любых положительных x и y, выполнены равенства:

1. log_a1=0

2. log_aa=1

3. log_axy= log_ax+ log_ay

4. log_ax/y= log_ax- log_ay

5. log_ax^p= plog_ax

Изучение логарифмической функции начинается с выделения определения: функцию, заданную формулой называют логарифмической функцией с основанием . Основные свойства выводится из свойств показательной функции:

1. ,

2. ,

3. Логарифмическая функция на всей области определения возрастает (при a>1) или убывает (при 0<a<1).

Покажем, что при a>1 возрастает. Пусть и , надо доказать, что: . Допустим противное, т.е. что . Т.к. показательная функция при a>1 возрастает, то из неравенства следует: , что противоречит выбору . Следовательно: и функция при a>1 – возрастает.

Т.к. при a>1 функция возрастает, то логарифмическая функция положительна при x>1 и отрицательна для 0<x<1 (для основания 0<a<1 – наоборот). На основании рассмотренных свойств строится график этой функции.

11. Содержание

    • Методика изучения начал систематического школьного курса планиметрии.
    • Методика изучения подобных треугольников.
    • Методика изучения основных соотношений между элементами треугольника.
    • Методика изучения понятия равенства фигур. Доказательство первых теорем планиметрии. Признаки равенства треугольников.
    • 2.6 Методика изучения величин в школьном курсе планиметрии.
    • 2.7Обобщение понятия степени в школьном курсе математики.
    • 2.8 Исторические и логические последовательности изучения числовых множеств. Общий принцип расширения числовых множеств. Общая схема изучения новых чисел.
    • 2.9Методика повторения и дальнейшего изучения натуральных чисел. Изучение обыкновенных и десятичных дробей.
    • 2.10 Методика изучения тригонометрических функций в курсе планиметрии.
    • Методика изучения показательной и логарифмической функций в средней школе.
    • Методика введения и изучения рациональных чисел.
    • Методика введения и изучения иррациональных чисел.
    • 2.14Методика изучения процентов. Основные задачи на проценты в школьном курсе математики.
    • 2.15Методика изучения тождественных преобразований.
    • Методика изучения тригонометрических уравнений и неравенств в средней школе.
    • 2.17Методика изучения показательных и логарифмических уравнений и неравенств в средней школе.
    • 2.18Методика изучения уравнений и их систем в средней школе. Равносильность уравнений. Алгебраические уравнения и их системы.
    • Методика изучения неравенств и их систем в средней школе. Метод интервалов при решении неравенств.
    • Методика изучения функций. Понятие функций. Возможная методическая схема изучения функций в базовой школе. Методика изучения алгебраических функций.
    • Методика изучения числовых последовательностей и прогрессий.
    • Методика введения и изучения понятия производной в средней школе.
    • 2.24Методика обучения школьников решению текстовых задач арифметическим методом и методом составления уравнений и неравенств.
    • 2.25 Методические особенности изучения тригонометрических функций в средней школе. Построение графиков тригонометрических функций.
    • 2.26 Использование понятия производной в курсе алгебры средней школы.