Методика изучения показательной и логарифмической функций в средней школе.
Ознакомление учащихся с показательной и логарифмической функциями начиная с изучения свойств степеней и логарифмов.
Курс алгебры знакомит учащихся с понятием степени с рациональным показателем. Таким образом для любого основания степени (где , ) можно построить функцию: , , область определения которой – множество действительных чисел. Необходимо ввести определение степени с иррациональным показателем. Используемое свойство степени с основным, например, большим единицы (возрастании), рациональное приближение иррационального числа α: r1< α< r2. Исходя из графического изображения зависимости показателя степени и значения степени, показывается, что найдется такое значение y, которое будет наибольшим среди всех ar1 и наименьшим среди всех ar2 , которое можно считать значением aα.
Затем формируется определение показательной функции: функция, заданная формулой y=ax ( , ), называется показательной функцией с основанием a, и формулируемые основные свойства: D(ax)=R; E(ax)=RТ; ax возрастает при a>1 и ax убывает при 0<a<1; напоминаются основные свойства степеней. Т.о. показательная функция есть систематизация, обобщение и расширение знаний учащихся о свойствах степени.
Логарифмическая функция – новый математический объект для учащихся. К понятию логарифма учащихся подводят в процессе решения показательного уравнения ax=b в том случае, если b нельзя представить в виде степени с основанием a. Наше уравнение в случае b>0 имеет единственный корень, который называют логарифмом b по основанию a и обозначают logab, т.е. alogab=b. Одновременно с введением нового понятия учащиеся знакомятся с основным Логарифмическим тождеством. При работе с логарифмами применяются следующие их свойства, вытекающие из свойств показательной функции:
При любом ( ) и любых положительных x и y, выполнены равенства:
1. loga1=0
2. logaa=1
3. logaxy= logax+ logay
4. logax/y= logax- logay
5. logaxp= plogax
Изучение логарифмической функции начинается с выделения определения: функцию, заданную формулой называют логарифмической функцией с основанием . Основные свойства выводится из свойств показательной функции:
1. ,
2. ,
3. Логарифмическая функция на всей области определения возрастает (при a>1) или убывает (при 0<a<1).
Покажем, что при a>1 возрастает. Пусть и , надо доказать, что: . Допустим противное, т.е. что . Т.к. показательная функция при a>1 возрастает, то из неравенства следует: , что противоречит выбору . Следовательно: и функция при a>1 – возрастает.
Т.к. при a>1 функция возрастает, то логарифмическая функция положительна при x>1 и отрицательна для 0<x<1 (для основания 0<a<1 – наоборот). На основании рассмотренных свойств строится график этой функции.
-
Содержание
- Методика изучения начал систематического школьного курса планиметрии.
- Методика изучения подобных треугольников.
- Методика изучения основных соотношений между элементами треугольника.
- Методика изучения понятия равенства фигур. Доказательство первых теорем планиметрии. Признаки равенства треугольников.
- 2.6 Методика изучения величин в школьном курсе планиметрии.
- 2.7Обобщение понятия степени в школьном курсе математики.
- 2.8 Исторические и логические последовательности изучения числовых множеств. Общий принцип расширения числовых множеств. Общая схема изучения новых чисел.
- 2.9Методика повторения и дальнейшего изучения натуральных чисел. Изучение обыкновенных и десятичных дробей.
- 2.10 Методика изучения тригонометрических функций в курсе планиметрии.
- Методика изучения показательной и логарифмической функций в средней школе.
- Методика введения и изучения рациональных чисел.
- Методика введения и изучения иррациональных чисел.
- 2.14Методика изучения процентов. Основные задачи на проценты в школьном курсе математики.
- 2.15Методика изучения тождественных преобразований.
- Методика изучения тригонометрических уравнений и неравенств в средней школе.
- 2.17Методика изучения показательных и логарифмических уравнений и неравенств в средней школе.
- 2.18Методика изучения уравнений и их систем в средней школе. Равносильность уравнений. Алгебраические уравнения и их системы.
- Методика изучения неравенств и их систем в средней школе. Метод интервалов при решении неравенств.
- Методика изучения функций. Понятие функций. Возможная методическая схема изучения функций в базовой школе. Методика изучения алгебраических функций.
- Методика изучения числовых последовательностей и прогрессий.
- Методика введения и изучения понятия производной в средней школе.
- 2.24Методика обучения школьников решению текстовых задач арифметическим методом и методом составления уравнений и неравенств.
- 2.25 Методические особенности изучения тригонометрических функций в средней школе. Построение графиков тригонометрических функций.
- 2.26 Использование понятия производной в курсе алгебры средней школы.