2.15Методика изучения тождественных преобразований.

Простейшие преобразования выражений опираются на свойства арифметических операций и заключаются в замене одного выражения на другое, тождественно равное ему. Определение тождества, тождественных преобразований дается только в 7-ом классе, хотя, начиная с 5-го класса, тождества изучаются ((a + b) c =(a c + b c) и применяются. Знак « = » используется в математике очень часто и смысл, который придается этому знаку ни один и тот же. Числовые равенства 1236=2² 3 103, log _5(1/5)⁵=-10 (смысл равенства означает, что слева и справа записано одно и то же число). В ином смысле применяется « = », когда идет речь о равенстве функций, если области их определения совпадают, и для любого числа х₀ принадлежащего общей области определения этих функций верно числовое равенство f(x₀)=g(x₀). Равенство функций, те их совпадение выражают равенством f(x)≡g(x), запись равенства (совпадения) двух функций называют тождеством (в 7-ом классе «тождество» - равенство тождественных выражений). Иногда при рассмотрении тождеств, приходится ограничивать области определения функций. Поэтому говорят f(x)=g(x) является тождеством на множестве М.√х²=х, при х≥0.

В ином смысле используется знак = при рассмотрении уравнений.Формирование навыков применения конкретных преобразований:Применение формул сокращенного умножения (тождества).

Большинство ошибок, которые учащиеся делают при использовании этих формул связаны: а) с непониманием слов «сокращенное умножение», те, что ( х + у)(х +у) можно умножить по правилам умножения многочленов, а можно увидеть закономерность; наличие 2-х одинаковых слагаемых в сумме при любых х и у.

б) с отсутствием функционального видения зависимостей в тождествах, т. е. изменение слагаемого ведет к изменению коэффициента

в) с формированием обратных ассоциаций, т. е. если сформулировано правило применения тождества слева направо- это еще не означает, что автоматически вырабатывается умение применять его справа налево.

г) с отсутствием (тщательной обработки) подвижности знаний о свойствах степени (умение представить данное выражение в виде квадрата или куба), чтение выражений.

В базовой школе в основном изучаются преобразования рациональных выражения, в программу старших классов входят тождественные преобразования иррациональных выражений, тригонометрических, суммирование прогрессий, преобразования, содержащие предельные переходы, преобразования, основанные на правилах дифференцирования и интегрирования. Таким образом: Существуют 2 точки зрения на тождественные преобразования: формальная и функциональная. С формальной точки зрения два выражения тождественно равны, если могут быть получены друг из друга путем формальных преобразований, т. е. последовательной заменой одного выражения другим в результате применения того или иного правила тождественного преобразования. С функциональной точки зрения два выражения тождественно равны, если они принимают одни и т же числовые значения при произвольных системах значений переменных, входящих в эти выражения. Тождественные преобразования - это замена данного выражения тождественным ему в указанном смысле. Но при этом нет способа производить эту замену.

Доказательство тождеств можно разделить на три типа в зависимости от того, насколько они удовлетворяют требованиям строгости: а) не полностью строгие рассуждения, требующие использования метода математической индукции (свойства степени, с множествами, формулы прогрессий), б) полностью строгие рассуждения, опирающиеся на свойства арифметических действий. Основная область – применение формул сокращенного умножения, в) полностью строгие рассуждения, использующие уравнение вида φ(х)=а (свойство степени с рациональным показателем)

Изучение тождественных преобразований неравенств, представляет большие трудности. Существенное различие между тождественными преобразованиями в равенствах заключаются в том, что отношение неравно (< >) не обладает свойствами замещения (замены равного равным ) a=b => f(a)=f(b).