2.18Методика изучения уравнений и их систем в средней школе. Равносильность уравнений. Алгебраические уравнения и их системы.

1. Уравнением с одной переменной назыв. равенство, содержащее эту переменную. При этом переменная в ур-ии часто называется неизвестным. Значение переменной, при подстановке которого в ур-ие получается верное равенство, называется корнем или решением уравнения.

2. Равенство, содержащее неизвестное число, называется уравнением.

Эти определения не обладают достаточной степенью строгости. Более строгое определение понятия уравнения даётся в математической логике: предикат вида P(x)=Q(x), где x принадлежит Х, называется уравнением. Х – область определения ур-ия.

Уравнение в школьном курсе изучается в несколько этапов.

1. В начальных кл и 5 кл (это понятие об уравнении).Рассматривается лин.ур. следующего типа: а) 7+х=10; б) х-3=10+5; в) х·(17-10)=70; г) х:2+10=30 и т.д. Неизвестное сначала находится подбором. Затем – используется зависимость между компонентами.

В нач. шк. знакомство с понятием ур-ия проводится без введения определения. Напр.,: к неизвестному числу прибавили 3 и получили 8. Найдите неизвестное число? Проводится краткая запись условия  +3=8.Число, которое нужно вставить вместо окошечка находится подбором. Затем показывается, как данное равенство можно записать с помощью буквы х: х+3=8

В 5 кл ур-ия решаются также на основе зависимости между компонентами арифметич. действий. Упрощение числовых выражений, связанных с решением ур-ия, носит более сложных характер, т.к. оперирует числами пределах млн. Учащихся знакомят с применением распределит. закона умножения относительно сложения к решению Ур.

2. 6-7 кл (линейные ур-ия с одним неизвестным) При изучении положит. и отрицат. чисел рассматриваются новые примеры лин. Ур. Напр., на основании определения противополож. чисел решается ур-е –х=607. На основе определения модуля решается ур-ия вида |х|=9, |а|=0, |b|=-3.

В этих же кл. уч-ки знакомятся с тождеств. преобразованиями раскрытия скобок и решаются Ур-ия типа а-(b-х)=c. После изучения условия равенства произведения нулю решаются уравнения типа (х+3)(х+4)=0. Новым шагом явл. изучение правила переноса слогаемого из данной части в др.

3. В 7-8 кл(линейные ур-ия с двумя неизвестными и системы лин. ур-ий с двумя неизв-ми) систематизир-ся сведения о реш-и лин.ур. и вводится опр-ие: «уравнение вида ax=b, где х – перемен., a, b – числа, назыв. лин.ур-ем с одной переменной. Число а назыв. коэф-ом при переменной, число b – свободным членом». Рассматривается три случая решения этого уравн: а≠0; а=0 и b≠0; a=0 b=0.

Рассматр-ся темы, связанные с ур-ми с 2 переменными и их системами. Решаются упр-ия типа: Постройте график ур. 2(x-y)+3y=4; Решить графич. систему ур-ий 3x-2y=6 и 3x+10y=-12; решить уравн. методом подстановки.

4. В 8-9 кл(квадратные, рациональные ур-ия и их системы)решаются следующие типы ур-ий: а)неполные квадратные; б)полные квадратные, сначала с выделением квадрата двучлена, а затем – на основе выведенной формулы корней квадратного Ур.; в)дробно-рациональные ур (Методика решения(алгоритм):1) найти общий знаменатель; 2)заменить данное выражение целым, умножив обе его части на общий знаменатель; 3)решается полученное целое уравнение; 3)сделать проверку, т.е. отбросить те значения х, которые обращают знаменатель в ноль).

В 9 кл. -систематизируются сведения о целом уравн., вводится понятие степени уравн. Решаются ур.:А)5х³-5х(х²+4)=1; Б)х³-8х²-х+8=0; В)док-ть, что ур. 5х⁶+6х⁴+х²+4=0 не имеет корней; Г)при каких значениях b ур. 2x²+6x+b=0 имеет 2 корня; Д)ур., приводимые к квадратным, в том числе биквадратные

Завершается 9 (10) Кл решением систем ур-ий 2-ой степени методом подстановки и сложения.

5. 10 кл (11)– тригонометрич. ур.: А)решение простейших тригонометр. ур.; Б)Ур., сводящиеся к квадрат. путём введения новой переменной; В)на применение формул преобразований; Г)системы ур.

6.В 11 кл(показательные, логарифмич. ур-ия (в углублен. кл. понятие об диф. ур-ях и простейших методах их решений)) рассматриваются уравнения:

А)иррац-ые ур-ия

Б)показат-ые ур-ия типа: 1) приводимые к виду a^f(x)=a^g(x) и далее на основании следствия из свойства монотонности показательной функции решаются равносильные уравнения f(x)=g(x; 2)сводимые путём преобразования и введения новой переменной к квадратным; 3) системы показательных уравнений

В)логарифмич. Ур: 1) простейшие, решаемые по определению логарифма (log₂(x-1)=3); 2) сводимые путём преобразования и введения новой переменной к квадратным; 3) сводимые к виду log_af(x)=log_ag(x) и затем на основании следствия из св-в монотонности логарифмич. функции сводятся к уравн. F(x)=g(x), где f(x), g(x)>0; 4)решаемые методом логарифмированияp; 5)системы логарифмич. ур-ий.