Методика введения и изучения иррациональных чисел.

1. Введение начинается с целесообразно подобранной задачи. Например: извлечение квадратного корня из положительного числа, не являющегося полным квадратом; каким числом выражается длина диагонали квадрата со стороной 1; чему равна сторона квадрата, если известно, что его площадь равна 3.

Практические задачи: задачи измерения; каждой ли точке координатной прямой соответствует рац число?

Изображение чисел на координатной прямой

П окажем, что т. В’ соответствует числу, не явл рацион, т. к. диагональ квадрата ОВ несоизмерима с его стороной ОА

Д-во, что т. В не соотв. никакому рац числу

Т. к. т. В’ находится на ОХ,

От противного: пусть – несократимая дробь. Обе части – неотрицательны, возведем в квадрат, получим: , , => – четное, => – четное. Значит можно представить в виде . Подставим в :

=> , => – четное, – четное. Тогда имеем – четные. Это противоречит тому, что – несократимая дробь. => => не является рациональным числом.Таким образом, число можно изобразить на координатной прямой некоторым числом, которое не является рациональным. Такие числа называются иррациональными.

2 подход

С другой стороны .

Если натуральное число не есть квадрат некоторого натурального числа, то оно есть квадрат иррационального числа. Таким образом, – иррациональное число.

3 подход

Иррациональные числа – есть бесконечные десятичные непериодические дроби. Так как нельзя извлечь нацело есть бесконечная десятичная непериодическая дробь есть число иррациональное.

4 подход

Рассмотрим приближенное значение с недостатком и с избытком:

С недостатком: 1,4; 1,41; 1,414; 1,4142

С избытком: 1,5; 1,42; 1,415; 1,4143

Объединим эти последовательности: 1,4< 1,41< 1,414 <1,4142 < < 1,4143 < 1,415 < 1,42 < 1,5

Докажем, что границей или пределом последовательностей является некоторое иррациональное число. Пусть границей явл , с другой стороны границей явл несократимая дробь .

Таким образом, на границе последовательности, представляющей квадраты членов, последовательности приближений с недостатком и с избытком находится с одной стороны число 2, а с другой - , причем => данную последовательность определяют два числа, не равные между собой, а это невозможно => последовательности определяют единственное число . Действия над иррациональными числами:1) сравнение (можно как десятичные дроби, сравнивая кол-во единиц в соответствующих разрядах, можно как квадраты корней);2) сложение, вычитание, умножение, деление (нельзя выполнять как с десятичными дробями).