2.3 Відношення між множинами

Відношення включення

Якщо всі елементи множини В є також і елементами множини А, то говорять, що множина В включається в множину А, або множина В є підмножиною множини А. Символічно це записують так: В А. І читають В є підмножиною множини А. Це означає, що множина В перебуває у відношенні включення з множиною А.

Якщо кожний елемент непорожньої множини В належить до множини А, але множина А містить принаймні один елемент, який не належить множині В, то множина В називається власною підмножиною множини А. Це записується так: В А. (Знак називається знаком строгого включення). Цей запис читають так: В є власною підмножиною множини А. Наприклад, множини В = { 1, 2 }, С = { 1, 2, 3 }, Д = { 1 }, Е = { 2, 4 } є власними підмножинами множини А = { 1, 2, 3, 4 }.

Крім власних підмножин, кожна непорожня множина А має дві невласні підмножини: порожню множину () і саму себе. В символічній формі це записують так: А і А А.

Таким чином, непорожня неодноелементна множина А має дві невласні підмножини / і А / і кілька власних підмножин.

Відношення включення має такі властивості:

1) рефлексивність: А А, тобто кожна множина включається в саму себе;

2) антисиметричність / стосується відношення строгого включення /:

А В В А, тобто якщо множина А є власною підмножиною множини В, то множина В не є власною підмножиною множини А;

3) транзитивність:

А В В С А С, тобто якщо множина А є власною підмножиною множини В, а остання є власною підмножиною множини С, то множина А є власною підмножиною множини С.

Множини зображають внутрішніми точками круга або замкнутого криволінійного контура без точок самоперетину, наприклад,

Таке зображення називають кругом Ейлера або діаграмою Ейлера- Венна. Відношення строгого включення ілюструють так:

А В

Властивість транзитивності цього відношення ілюструється так:

А В В С А С

Відношення рівності

Якщо множина А є підмножиною множини В і навпаки, множина В є підмножиною множини А, то множини А і В рівні. Символічно це можна записати так:

А В В А А = В.

Іншими словами, це означає, що в множині В не існує жодного елемента який не належав би множині А, або ж, що множини А і В складаються з одних і тих самих елементів.

Рівними можуть бути не лише множини, задані переліком одних і тих самих елементів, але й множини, які задані описом, причому для них вказані різні характеристичні ознаки. Наприклад, множина А - прямокутників з рівними сторонами дорівнює множині В - ромбів з рівними діагоналями, оскільки вони обидві виражають множину квадратів. Відношення рівності має властивості:

а) рефлексивність: А = А

б) симетричність: А = В В = А

в) транзитивність: А = В В = С А = С.

Відношення перерізу

Якщо деякі елементи множини А є одночасно й елементами множини В, причому в кожній з цих множин є елементи, які не належать іншій множині,

то говорять, що множини А і В перебувають у відношенні часткового включення, або у відношенні перерізу.

Множину, що складається з елементів, які належать одночасно обом множинам (спільну частину множин), називають перерізом даних множин.

В символічній формі переріз множин записують так:

А В = { х / х є А х є В }.

На діаграмі переріз зображають так: