2.3 Відношення між множинами
Відношення включення
Якщо всі елементи множини В є також і елементами множини А, то говорять, що множина В включається в множину А, або множина В є підмножиною множини А. Символічно це записують так: В А. І читають В є підмножиною множини А. Це означає, що множина В перебуває у відношенні включення з множиною А.
Якщо кожний елемент непорожньої множини В належить до множини А, але множина А містить принаймні один елемент, який не належить множині В, то множина В називається власною підмножиною множини А. Це записується так: В А. (Знак називається знаком строгого включення). Цей запис читають так: В є власною підмножиною множини А. Наприклад, множини В = { 1, 2 }, С = { 1, 2, 3 }, Д = { 1 }, Е = { 2, 4 } є власними підмножинами множини А = { 1, 2, 3, 4 }.
Крім власних підмножин, кожна непорожня множина А має дві невласні підмножини: порожню множину () і саму себе. В символічній формі це записують так: А і А А.
Таким чином, непорожня неодноелементна множина А має дві невласні підмножини / і А / і кілька власних підмножин.
Відношення включення має такі властивості:
1) рефлексивність: А А, тобто кожна множина включається в саму себе;
2) антисиметричність / стосується відношення строгого включення /:
А В В А, тобто якщо множина А є власною підмножиною множини В, то множина В не є власною підмножиною множини А;
3) транзитивність:
А В В С А С, тобто якщо множина А є власною підмножиною множини В, а остання є власною підмножиною множини С, то множина А є власною підмножиною множини С.
Множини зображають внутрішніми точками круга або замкнутого криволінійного контура без точок самоперетину, наприклад,
Таке зображення називають кругом Ейлера або діаграмою Ейлера- Венна. Відношення строгого включення ілюструють так:
А В
Властивість транзитивності цього відношення ілюструється так:
А В В С А С
Відношення рівності
Якщо множина А є підмножиною множини В і навпаки, множина В є підмножиною множини А, то множини А і В рівні. Символічно це можна записати так:
А В В А А = В.
Іншими словами, це означає, що в множині В не існує жодного елемента який не належав би множині А, або ж, що множини А і В складаються з одних і тих самих елементів.
Рівними можуть бути не лише множини, задані переліком одних і тих самих елементів, але й множини, які задані описом, причому для них вказані різні характеристичні ознаки. Наприклад, множина А - прямокутників з рівними сторонами дорівнює множині В - ромбів з рівними діагоналями, оскільки вони обидві виражають множину квадратів. Відношення рівності має властивості:
а) рефлексивність: А = А
б) симетричність: А = В В = А
в) транзитивність: А = В В = С А = С.
Відношення перерізу
Якщо деякі елементи множини А є одночасно й елементами множини В, причому в кожній з цих множин є елементи, які не належать іншій множині,
то говорять, що множини А і В перебувають у відношенні часткового включення, або у відношенні перерізу.
Множину, що складається з елементів, які належать одночасно обом множинам (спільну частину множин), називають перерізом даних множин.
В символічній формі переріз множин записують так:
А В = { х / х є А х є В }.
На діаграмі переріз зображають так:
- Вступ
- Розділ І. Науково-теоретична і методична система досліджень.
- 2.1 Поняття множини. Елемент множини. Порожня множина
- 2.2 Способи задання множин
- 2.3 Відношення між множинами
- 2.4 Універсальна множина
- 2.5 Геометрична фігура
- 2.6 Круги Ейлера
- 2.7 Означення перерізу двох множин
- 2.8 Означення обєднання двох множин
- 2.9 Розбиття множин на підмножини, що попарно не перетинаються
- 2.10 Означення різниці двох множин.
- 2.11 Доповнення до обєднання і перерізу множин.
- 2.12 Числові множини
- Розділ ІІІ. Система задач для вивчення множин і відношень в сучасній школі
- Висновки
- Тема 1. Структура курсу «Методика викладання правознавства в школі»
- Тема 1. Структура курсу «Методика викладання правознавства в школі»
- Програма дисципліни «методика викладання у вищій школі»
- Тема 1. Структура курсу «Методика викладання правознавства в школі»
- Особливості оволодіння нормативними курсами «Методика навчання іноземних мов у знз» і «Методика викладання зарубіжної літератури в середній школі»
- 3.3 Методика викладання економіки