2.4 Описание методики обучения теме «Квадратные неравенства»

Урок 1: «Квадратное неравенство».

Предмет, класс, количество часов: Алгебра, 8 класс, 1 час.

Тип урока: урок изучения нового.

Цели урока:

ОЦ: Обеспечить усвоение понятия «квадратное неравенство».

ВЦ: Формирование у учащихся навыков самостоятельной работы.

РЦ: Развитие умений анализировать, сравнивать, конкретизировать и делать выводы.

Методы обучения: объяснительно-иллюстративный, частично-поисковый, репродуктивный.

План урока

1. Оргмомент.

2. Актуализация знаний.

3. Введение понятия «квадратное неравенство».

4. Отработка новых знаний.

5. Подведение итогов урока.

6. Постановка домашнего задания.

ХОД УРОКА

1. Оргмомент.

Ребята, сегодня мы начинаем изучать новую главу «Квадратные неравенства». На сегодняшнем уроке мы с вами постараемся узнать, что же такое квадратное неравенство.

2. Актуализация знаний.

Для начала давайте вспомним, что вообще мы понимаем под неравенством. (дети говорят, что число а больше числа b, если разность a-b положительна. Число а меньше числа b, если разность a-b отрицательна).

Хорошо. Мы с вами знаем линейные неравенства, которые содержат линейные функции. Скажите, а какую функцию мы называли квадратичной? (Функция , где a,b и c заданные действительные числа, a?0, х - действительная переменная, называется квадратичной функцией).

Укажите среди записанных на доске функций квадратичную.

; ; ; .

(Квадратичными являются первая и последняя функции. Во втором случае функция является линейной, а в третьем - кубической).

3. Введение понятия «квадратное неравенство».

Ребята, на доске вы видите записи

, , , ,

, .

Какие из данных неравенств являются линейными?

(Линейными являются неравенства .

Почему вы сделали такие выводы?

(Потому что данные неравенства содержат линейные функции)

Хорошо! Какие еще неравенства вы видите на доске?

(Неравенства .

Молодцы. У нас остались еще два неравенства, которым мы ни как не можем дать названия.

Посмотрите, какие функции стоят в левой части оставшихся неравенств?

(В левой части оставшихся неравенств стоят квадратичные функции).

Правильно! Итак, ребята, если мы с вами вспомним сейчас все, что говорили чуть ранее, какой вывод мы с вами можем сделать? Какие неравенства мы будем называть квадратными?

(Если в левой части неравенства стоит квадратичная функция, то такое неравенство называют квадратным).

Хорошо… Только вы забыли сказать про левую часть неравенства. Что стоит в ней?

(В левой части такого неравенства стоит ноль!)

Молодцы! Значит, если в левой части неравенства стоит квадратный трехчлен, а в правой - нуль, то такое неравенство называют квадратным.

4. Отработка новых знаний.

Хорошо, ребята, давайте теперь проверим насколько вы усвоили данный материал.

Укажите какие из следующих неравенств являются квадратными:

1) ; 2) ; 3);

4) ; 5) ; 6) .

(Квадратными неравенствами являются неравенства под цифрами 1), 2) и 5)).

Почему вы сделали такой вывод?

(Т.к. в левой части этих неравенств стоят квадратные трехчлены, а в правой части стоит ноль!).

Хорошо. Давайте теперь вы сами выйдете к доске и приведете примеры квадратных неравенств.

(Ребята по очереди выходят к доске и записывают примеры квадратных неравенств).

Молодцы. Но ведь неравенства могут быть даны не в явном виде. Попробуйте свести к квадратным следующие неравенства:

; ; ;

.

( 1) . Перенесем выражение, стоящее в правой части неравенства, в левую часть данного неравенства. При этом поменяем знаки: . Данное неравенство является квадратным, т.к. удовлетворяет нашему определению.

2). Поступим так же, как и в предыдущем примере: . Данное неравенство так же является квадратным.

3) . Перенесем квадратный трехчлен из правой части неравенства в левую: . Приведем подобные: . Данное неравенство является квадратным.

4) . Так же переносим выражение, стоящее в правой части неравенства, в левую: . Раскроем скобки и приведем подобные: ; . Данное неравенство является квадратным.)

5. Подведение итогов урока.

Итак, давайте подведем итоги.

С каким новым понятием мы сегодня познакомились?

(С понятием квадратного неравенства).

Какое неравенство мы с вами называем квадратным?

(Если в левой части неравенства стоит квадратный трехчлен, а в правой - нуль, то такое неравенство называют квадратным).

6. Постановка домашнего задания.

Почитайте §40, стр 174. Определение наизусть.

№649, 650.

Урок 2: «Квадратное неравенство и его решение».

Предмет, класс, количество часов: Алгебра, 8 класс, 1 час.

Тип урока: урок повторения и изучения нового.

Цели:

ОЦ: обеспечить усвоение способа решения квадратного неравенства.

ВЦ: формирование у учащихся навыков самостоятельной работы.

РЦ: развивать умение анализировать, сопоставлять и делать выводы.

Методы обучения: объяснительно-иллюстративный, частично-поисковый, репродуктивный.

План урока

1. Оргмомент.

2. Актуализация знаний.

3. Введение решения квадратного неравенства.

4. Отработка новых знаний.

5. Подведение итогов.

6. Постановка домашнего задания.

ХОД УРОКА

1. Оргмомент.

Ребята, мы продолжаем изучать квадратные неравенства. На сегодняшнем уроке мы вспомним, что называют решением неравенства и научимся решать квадратные неравенства.

2. Актуализация знаний.

На прошлом занятии мы с вами познакомились с понятием квадратного неравенства. Давайте вспомним, какое неравенство мы называли квадратным!

(Если в левой части неравенства стоит квадратный трехчлен, а в правой - нуль, то такое неравенство называют квадратным).

Хорошо, ребята! Давайте несколько человек выйдут к доске и приведут примеры квадратных неравенств. Причем сделаем это таким образом, что бы ни одно неравенство не было похоже на другое!

(Ученики выходят к доске и пишут примеры неравенств).

Молодцы!

Мы с вами знаем, что неравенства имеют решения! Вспомните, что мы понимали под решением неравенства с одним неизвестным?

(Решением неравенства с одним неизвестным называется то значение неизвестного, при котором это неравенство обращается в верное числовое неравенство).

А решить неравенство значит…

(Значит найти все его решения или установить, что их нет).

3. Введение решения квадратного неравенства.

Давайте рассмотрим неравенство .

Квадратное неравенство имеет два различных корня . Следовательно, квадратный трехчлен можно разложить на множители:

.

Поэтому данное неравенство можно записать так:

>0.

В каком случае произведение двух множителей положительно?

(Произведение двух множителей положительно, если они имеют одинаковые знаки).

1) Рассмотрим случай, когда оба множителя положительны, т.е. и . Эти два неравенства образуют систему:

.

Давайте, кто-нибудь выйдет к доске и решит данную систему.

(Решая систему, получаем , откуда ).

Итак, значит все числа являются решениями неравенства

>0.

2) Рассмотрим теперь случай, когда оба множителя отрицательны.

Ребята, попробуйте самостоятельно в тетрадях найти решение неравенства >0 в данном случае.

(Получаем систему . Решая данную систему, получаем , откуда ).

Хорошо! Итак, все числа также являются решениями неравенства >0. Таким образом, решениями неравенства >0, а значит, и исходного неравенства являются числа , а также числа .

Теперь, ребята, скажите, что же нам нужно сделать для того, что бы решить квадратное неравенство или ?

(Можно найти корни квадратного трехчлена и разложить его на множители. Затем решать систему уже не квадратных, а линейных неравенств).

Правильно! Т.е., если квадратное уравнение имеет два различных корня, то решение квадратных неравенств и можно свести к решению системы неравенств первой степени, разложив левую часть квадратного неравенства на множители.

4. Отработка новых знаний.

Давайте для начала поработаем устно!

На доске вы видите три числа: 0; -1; 2. И четыре неравенства:

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

Задание: какие из данных чисел являются решениями этих неравенств?

Для начала, скажите, что нужно сделать, что бы понять является число решением этого неравенства или нет?

(Для этого нужно подставить это число в неравенство вместо переменной x и посмотреть обращается ли это неравенство в верное числовое неравенство). Правильно! Теперь давайте выполним наше задание.

(Решениями первого неравенства являются числа 0 и 2, т.к. при их подстановке в неравенство, получаются, соответственно, верные числовые неравенства 2>0 и 12>0. А при подстановке -1, числовое неравенство 0>0 не является верным.

Решениями второго неравенства являются числа 0 и 2, т.к. при их подстановке в неравенство, получаются, соответственно, верные числовые неравенства и . А при подстановке -1, числовое неравенство не является верным.

Решениями третьего неравенства являются все числа 0, -1 и 2, т.к. при их подстановке в неравенство, получаются, соответственно, верные числовые неравенства , и .

Решениями четвертого неравенства являются числа -1 и 2, т.к. при их подстановке в неравенство, получаются, соответственно, верные числовые неравенства и . А при подстановке 0, числовое неравенство не верно).

Молодцы ребята! Все правильно. Теперь поработаем у доски. Давайте попробуем решить неравенства:

; ;

; .

( 1)

Произведение двух множителей положительно, если они имеют одинаковые знаки.

Рассмотрим случай, когда оба множителя положительны, т.е. и . Эти два неравенства образуют систему: . Решая данную систему, получаем , откуда .

Рассмотрим теперь случай, когда оба множителя отрицательны, т.е. и . Эти два неравенства образуют систему , решая которую, мы получаем , откуда .

Таким образом, решениями неравенства являются числа , а также числа .

2)

Произведение двух множителей отрицательно, если эти множители имеют противоположные знаки.

Получаем две системы:

и

Решением первой системы являются числа .

Вторая система решений не имеет.

Таким образом, решением неравенства являются числа .

3)

Произведение двух множителей отрицательно, если эти множители имеют противоположные знаки.

Получаем две системы:

и

Решением первой системы являются числа .

Вторая система решений не имеет.

Таким образом, решением неравенства являются числа .

4)

Произведение двух множителей положительно, если они имеют одинаковые знаки.

Получаем две системы:

и

Решением первой системы являются числа .

Решением второй системы являются числа .

Таким образом, решением неравенства являются числа , а также числа ).

Молодцы, ребята! Вы очень хорошо поработали у доски.

5. Подведение итогов.

На сегодняшнем уроке мы с вами вспомнили определение квадратного неравенства. Вспомнили, что мы называем решением неравенств и что значит решить неравенство.

Так же сегодня мы рассмотрели решение квадратных неравенств и сказали, что, если квадратное уравнение имеет два различных корня, то решение квадратных неравенств и можно свести к решению системы неравенств первой степени, разложив левую часть квадратного неравенства на множители.

6. Постановка домашнего задания.

§ 40, стр. 174-176.

№ 653 (1,4); №654.

Урок 3: «Решение квадратного неравенства с помощью графика квадратичной функции»

Предмет, класс, количество часов: Алгебра, 8 класс, 1 час.

Тип урока: урок изучения нового.

Цели:

ОЦ: Обеспечить усвоение алгоритма решения квадратного неравенства с помощью графика квадратичной функции.

ВЦ: Формирование у учащихся навыков самостоятельной работы, воспитание сообразительности, воспитание аккуратности.

РЦ: развитие умений анализировать, конкретизировать и делать выводы; развитие памяти через неоднократное повторение.

Методы обучения: объяснительно-иллюстративный, частично-поисковый, репродуктивный.

План урока

1. Оргмомент.

2. Проверка домашнего задания.

3. Актуализация знаний.

4. Введение алгоритма решения квадратного неравенства с помощью графика квадратичной функции.

5. Отработка новых знаний.

6. Подведение итогов.

7. Постановка домашнего задания.

ХОД УРОКА

1. Оргмомент.

Сегодня мы продолжаем изучать главу «Квадратные неравенства». На сегодняшнем уроке мы познакомимся с алгоритмом решения квадратного неравенства с помощью графика квадратичной функции и постараемся решить несколько задач.

2. Проверка домашнего задания.

Для начала давайте посмотрим что было задано вам на дом и проверим как вы справились с заданием.

(На дом был задан § 40 и № 653 (1,4); №654).

Откройте тетрадки, я пройду, посмотрю ваши решения.

3. Актуализация знаний.

Что значит решить неравенство?

(Решить квадратное неравенство - это значит найти множество всех х, для которых данное неравенство выполняется или доказать, что таких х нет).

Какие ответы могут получиться при решении квадратного неравенства?

(При решении квадратного неравенства могут быть четыре случая:

1) Решений может не быть, 2) решением может быть вся числовая ось, 3) решением является объединение промежутков, содержащих знаки бесконечности, 4) решением может быть числовой промежуток.)

В чем «проявляется» каждый коэффициент квадратичной функции на ее графике?

(Коэффициент а влияет на направление ветвей параболы; коэффициент с показывает на то, пересекает ли график ось Оу; коэффициенты а и b участвуют в вычислении вершины; так же все коэффициенты участвуют в вычислении дискриминанта, который влияет на наличие корней).

Ребята, на доске вы видите четыре чертежа.

Докажите, что на чертеже изображено решение данного неравенства.

(Учащиеся выходят к доске и, рассматривая каждое неравенство, доказывают, что на графике изображено его решение.

Так, на графике 1 изображено решение неравенства . Т.к. старший коэффициент а=2>0 => ветви параболы направлены вверх. Дискриминант больше нуля, следовательно, существует два корня - две точки пересечения с осью Ох.

На графике 2 изображено решение неравенства . Т.к. дискриминант меньше нуля, следовательно, пересечения графика с осью Ох нет. Старший коэффициент а=2>0, следовательно, ветви параболы направлены вверх.

На графике 3 изображено решение неравенства . Т.к. старший коэффициент а=-1<0, следовательно, ветви параболы направлены вниз. Дискриминант больше нуля, следовательно, уравнение имеет два корня - две точки пересечения графика с осью Ох.

На графике 4 изображено решение неравенства . Старший коэффициент а =1>0, следовательно, ветви параболы направлены вверх. Дискриминант равен нулю, следовательно одна точка пересечения графика с осью Ох).

Молодцы, ребята!

4. Введение алгоритма решения квадратного неравенства с помощью графика квадратичной функции

Давайте рассмотрим несколько примеров.

1. Решить неравенство .

Найдем дискриминант этого квадратного трехчлена. Имеем

, т.е. пересечения графика с осью Ох нет.

Старший коэффициент трехчлена (число 2) положителен, следовательно, ветви параболы направлены вверх.

Схематически график уравнения имеет вид:

Мы видим, что весь график данной функции лежит выше оси Ох, т.е. все значения положительны. Следовательно, неравенство имеет решение на всей числовой прямой (-?, +?).

Рассмотрим второй случай:

Пусть требуется решить неравенство .

Найдем дискриминант квадратного трехчлена. Имеем т.е. пересечения графика с осью Ох нет. Старший коэффициент трехчлена (число -1) отрицателен, т.е. ветви параболы направлены вниз.

Схематически график уравнения имеет вид:

Мы видим, что график данной функции лежит ниже оси Ох, т.е. все значения отрицательны. Следовательно, неравенство не выполняется ни при каком значении х, т.е. неравенство не имеет решений.

Теперь давайте попробуем сформулировать алгоритм решения квадратного неравенства с помощью графика квадратичной функции.

(Ученики пытаются сформулировать алгоритм, делая опору на решенные примеры).

Хорошо ребята, давайте теперь все вместе проговорим этот алгоритм:

1. Найти корни квадратного трехчлена ax²+bx+c.

2. Найти знак старшего коэффициента и с учетом этого определить направление ветвей параболы.

3. Построить схематический график трехчлена.

4. С помощью полученной геометрической модели определить, на каких промежутках оси х ординаты графика положительны (отрицательны); включить эти промежутки в ответ.

Хорошо! Теперь по цепочке, каждый из вас будет проговаривать этот алгоритм по шагам!

5. Отработка новых знаний.

Давайте посмотрим, насколько хорошо вы усвоили данный алгоритм.

На доске вы видите 4 графика и 5 неравенств.

Перерисуйте аккуратно графики к себе в тетрадь и установите соответствие между графиками данных функций и функциями, входящими в данное неравенство. Укажите решение.

(Учащиеся выходят к доске и сначала сопоставляют графики и вид неравенств, затем отмечают на графиках решение данных неравенств).

Молодцы! Теперь кто-нибудь из вас выйдет к доске и решит неравенство , записывая каждый шаг алгоритма.

(Учащиеся выходят к доске. Обращают внимание на то, что квадратное неравенство является неполным. Разбирают с учителем как решить эту проблемы. Затем, следуя алгоритму, расписывают свои действия по шагам).