logo
Kislij

Основи теорії випадкових помилок та методів оцінки випадкових похибок у вимірюваннях

Аналіз випадкових похибок базується на теорії випадкових помилок, яка дає можливість з визначеною гарантією обчислити дійсне значення виміряної величини та оцінити можливі помилки.

Основу теорії випадкових помилок складають такі припущення:

Вирізняють генеральну та вибіркову сукупність вимірів.

Під генеральною сукупністю розуміють всю множину можливих значень вимірів xi або можливих значень похибок Δxi.

Для вибіркової сукупності число вимірів n обмежене і у кожному конкретному випадку строго визначається.

Звичайно вважають, що якщо n>30, то середнє значення даної сукупності вимірів достатньо наближається до його дійсного значення.

Теорія випадкових похибок дозволяє оцінити точність та надійність вимірів при даній кількості вимірів або визначити мінімальну кількість вимірів, що гарантує задану точність та надійність вимірів. Разом з цим виникає необхідність виключити грубі похибки ряду, визначити достовірність одержаних даних тощо.

Для великої вибірки та нормального закону розподілу загальною оціночною характеристикою вимірів є дисперсія D та коефіцієнт варіації кв:

(3.1)

Дисперсія характеризує однорідність вимірів. Чим вище D, тим більше розкид вимірів. Чим вище кв, тим більше мінливість вимірів відносно середніх значень, кв оцінює також розкид при оцінці кількох вибірок.

Довірчим інтервалом значень xi є такий інтервал, в який потрапляє дійсне значення xД вимірюваної величини із заданою імовірністю.

Довірчою імовірністю (вірогідністю) (РД) вимірів називається імовірність того, що істинне значення вимірюваної величини потрапить до даного довірчого інтервалу, тобто в зону Ця величина визначається у частках одиниці або у відсотках.

Довірчий інтервал характеризує точність вимірів даної вибірки, а довірча імовірність – достовірність виміру.

Довірча імовірність визначається за допомогою інтегральної функції Лапласа, а довірчий інтервал визначається при n>30 за допомогою аргумента функції Лапласа, а при n<30 - за допомогою аргумента функції Стьюдента.

Для проведення дослідів із заданою точністю та достовірністю необхідно знати ту кількість вимірів, при якій експериментатор буде впевнений у позитивному результаті. У зв’язку з цим одним із найперших завдань при статистичних методах оцінки є встановлення мінімального, але достатнього числа вимірів для даних умов. Завдання зводиться до встановлення мінімального обсягу вибірки (числа вимірів або спостережень) Nmin при заданих значеннях довірчого інтервалу та довірчій імовірності.

Для визначення Nmin може бути використана така послідовність розрахунків:

  1. проводиться попередній експеримент з кількістю вимірів n, які становлять залежно від трудомісткості досліду від 20 до 50;

  2. розраховується середньоквадратичне відхилення σ за формулою (3.1);

  3. відповідно до поставлених завдань експерименту визначається потрібна точність вимірів Δ за формулою

(3.2)

де - середньоарифметичне значення середньоквадратичного відхилення, яке дорівнює

  1. встановлюється нормоване відхилення t, значення якого звичайно задається (залежить також від точності методу);

  2. визначають Nmin за такою формулою:

(3.3)

де kв – коефіцієнт варіації (мінливості), %;

Δ – точність вимірів, %.

При подальшому проведенні експерименту число вимірів не повинне бути меншим за Nmin.

У процесі обробки експериментальних даних слід виключати грубі помилки ряду. Однак перш ніж виключити той чи інший вимір, необхідно упевнитись, що це дійсно помилка, а не відхилення внаслідок статистичного розкиду. Найпростішим способом виключення із ряду виміру, що різко відрізняється від інших, є правило трьох сигм: розкид випадкових величин від середнього значення не повинен перевищувати

(3.4)

Більш достовірним є метод, що базується на використанні довірчого інтервалу. Другим методом встановлення грубих помилок є метод, що базується на використанні критерію В.І. Романовського. Ці методи використовують за наявності малої вибірки.

У випадку більш глибокого аналізу експериментальних даних рекомендується така послідовність:

  1. після одержання експериментальних даних у вигляді статистичного ряду його аналізують і виключають систематичні помилки;

  2. аналізують ряд з метою виявлення грубих помилок та похибок: встановлюють підозрілі значення або; визначають величину середньоквадратичного відхилення; розраховують критерії виключення із статистичного ряду значеньта(за допомогою одного з двох згаданих вище методів); виключають за необхідності із статистичного рядутаі одержують новий ряд із нових членів;

  3. розраховують середньоарифметичне , похибки окремих вимірівта середньоквадратичне очищеного ряду;

  4. знаходять середньоквадратичне серії вимірів, коефіцієнт варіаціїkв;

  5. при великій вибірці задаються довірчою імовірністю або рівнянням значущості(1 - РД) та за допомогою таблиць значень інтегральної функції Лапласа визначають t;

  6. визначають довірчий інтервал ;

  7. встановлюють дійсне значення величини, що досліджується за формулою

(3.5)

  1. оцінюють відносну похибку результатів серії вимірів при заданій довірчій імовірності РД.