9. Анализ и синтез как методы научного познания, их применение при обучении математике. Индукция и дедукция в преподавании математики.

Анализ и синтез относится к методам научного познания.

Анализ.

1) это форма мышления. Исследование и познание, когда изучаемый объект мысленно расчленяется на составные элементы (признаки, свойства, отношения), каждый из которых исследуется в отдельности как часть расчлененного целого

2) метод рассуждения, при кот мысль движется от неизвестного к известному.

3) метод мышления от целого к части

4) прием мышления при кот переходим от следствия к его причине

5) особая форма процесса мышления, когда объект вкл-ся во все новые связи и в силу этого выступает во все новых качествах, кот фиксир-ся в новых понятиях

Синтез

1) форма мышления исследования и познания, когда изучаемый объект мысленно или практически соединяется в единое целое из составных частей объекта расчлененного в процессе анализа

2) метод рассуждения, при кот мысль движется от известного к неизвестному

3) метод мышления от частей к целому.

4)прием мышления при кот переходим от причины к ее следствию

5)особая форма процесса мышления, когда происходит соотнесение, сопоставление и установление всяких связей между разными элементами.

Применение. Синтез, опираясь на данные, полученные в ходе анализа, дает решение задачи или доказательство теоремы. Анализ лежит в основе весьма общего подхода к решению задач (имеется в виду нестандартных задач, для которых нет соответствующего алгоритма), известного под названием сведения (редукции) задачи к совокупности подзадач. Идея такого подхода состоит именно в свойственном для анализа «размышлении в обратном направлении» от задачи, которую предстоит решить, к подзадачам, затем от этих подзадач к подподзадачам и т. д., пока исходная задача не будет сведена к набору элементарных задач.

Принцип сознательности обучения ориентирует учащихся на осознание путей получения новых знаний. Это осознание формируется на основе практики целенаправленного применения методов научного познания. Полезным является также краткий методологический комментарий процесса поиска решения математических задач.

Индукция и дедукция

Дедукция (от лат. выведение)- умозаключение от общего к частному, частичному или от более общего к менее общему.

Индукция (от лат. наведение)- от частного к общему или от менее общего к более общему.

Как в любых процессах познания (научного или обыденного), так и в процессе обучения дедукция и индукция взаимосвязаны. В индукции мы идем от посылок, выражающих знания меньшей степени общности, к новому суждению большей степени общности, то есть идем от отдельных конкретных явлений к обобщению. В дедукции ход рассуждения противоположный, то есть от обобщений, выводов мы идем к отдельным конкретным фактам или суждениям меньшей степени общности. В процессе обучения индуктивный и дедуктивный методы используются в единстве. Индуктивный метод используется тогда, когда изучается новый материал, трудный для учащихся, но когда в результате беседы они сами смогут сделать определенное заключение обобщающего характера, или сформулировать правило, или доказать теорему, или вскрыть некоторую закономерность. Индуктивный метод больше активизирует учащихся, но от учителя требует творческого подхода и гибкости в преподавании. При этом затрачивается больше времени на подведение учащихся к самостоятельному заключению.

Дедуктивный метод состоит в том, что учитель сам формулирует общее суждение, выражающее какое-то правило, закон, теорему и т. д., а затем применяет его, то есть иллюстрирует частными примерами, случаями, фактами, событиями и т. д. Соединение дедукции и индукции в процессе обучения приводит к двум способам объяснения материала:

1) индуктивно-дедуктивному способу, когда объяснение начинается с индукции и переходит затем в дедукцию (возможно, при значительном перевесе индукции);

2) дедуктивно-индуктивному способу, когда сообщение учащимся нового осуществляется самим учителем в виде готового, сформулированного им правила или положения с последующими комментариями.

В математике используются различные виды индукции: полная, неполная и математическая. Например, определить сумму n первых нечетных чисел.

Умозаключения делятся на логически необходимые и вероятностные (правдоподобные). Некоторые виды неполной индукции дают лишь вероятностные (или правдоподобные) заключения.

Единство дедукции и индукции, как в обучении, так и в научном творчестве своеобразно и ярко проявляется в математике - науке, значительно отличающейся от естественных и от общественных наук, как по методам доказательства, так и по методике передачи знаний учащимся.