3.3 Методика введения понятия теоремы обратной данной

В учебнике «геометрия 7-11» А.В. Погорелова (18) после доказательства теорем Т.3.3 («В равнобедренном треугольнике углы при основании равны») §3 «Признаки равенства треугольников» п.23 «Равнобедренный треугольник» и Т.3.4 («Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный»), того же параграфа п.24 «Обратная теорема», говорится, что Т.3.4 называется обратной Т.3.3.

В учебнике «Геометрия 7-9» Л.С. Атанасяна (4), сначала изучаются теоремы п.25 §1 «Признаки параллельности двух прямых» главы III. т.е.:

Теорема: Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Теорема: Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Теорема: Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180, то прямые параллельны.

Затем в §2 этой главы «Аксиома параллельных прямых» в п.29 вводят определение:

теоремой, обратной данной, называется такая теорема, в которой условием является заключение данной теоремы, а заключением - условие данной теоремы.

После чего школьникам предлагают доказать теоремы, обратные теоремам п.25.

Рассмотрим методику введения понятия «обратная теорема» на примере учебника А.В. Погорелова.

1способ: Вначале учащиеся доказывают Т.3.3: «В равнобедренном треугольнике углы при основании равны», затем Т.3.4: «Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный». После чего учащиеся говорят «Теорема 3.4 называется обратной теореме 3.3. Заключение теоремы 3.3 является условием теоремы 3.4. А условие теоремы 3.3 является заключением теоремы 3.4. Не всякая теорема имеет обратную, т.е. если данная теорема верна, то обратная теорема может быть неверна. Поясним это на примере теоремы о вертикальных углах. Эту теорему можно сформулировать так: если два угла вертикальные, то они равны. Обратная ей теорема была бы такой: если два угла равны, то они вертикальные. А это, конечно, неверно. Два равных угла вовсе не обязательно быть вертикальными».

В то же время в методической литературе перечисляют затруднения, которые испытывают учащиеся.

школьнику кажется, что прямая и обратная теоремы выражают одну и ту же мысль;

если ученик различает содержание каждой теоремы, то убежден, что справедливость одной влечет за собой справедливость другой;

3) не вполне ясное выделение в теореме условия и заключения приводит к тому, что ученики часто смешивают прямую и обратную теоремы;

4) большинству учащихся кажется, что обе записи выражают одну и ту же мысль.

Поэтому можно предложить второй способ изложения этого материала.

II способ: Перед доказательством Т.3.4 учитель предлагает учащимся самостоятельно сформулировать ту теорему, которая получается из Т.3.3, если в ней поменять условие и заключение.

Учащиеся заполняют таблицу:

Учитель предлагает доказать эту теорему. После доказательства возвращается к первой строчке таблицы, вводятся термины «прямая теорема», «обратная теорема».

После доказательства Т.3.4 надо предложить учащимся ряд упражнений на образование обратных теорем:

Например, составить для каждой из теорем обратную:

1. Если сумма цифр числа нацело делится на 9, то само число делится на 9.

2. Если число оканчивается двумя нулями, то оно нацело делится на 4.

3. Если в одном и том же круге центральные углы равны, то и соответственные им дуги равны.

Ученик, составляя обратную теорему, должен сказать верна ли она.

В упражнениях полезно ввести и жизненные примеры: образовать обратное утверждение к следующему: если ученик болен, то он пропускает уроки.

Также полезно предложить учащимся привести примеры доказанных ранее теорем сформировать для них обратные. При этом лучше переформулировать теоремы таким образом, чтобы они читались: «Если ..., то ...». Можно взять в качестве примера теорему о вертикальных углах, I и II признаки равенства треугольников и теорему о смежных углах.

На примере теорем 3.3 и 3.4 и признаков равенства треугольников показывается, что в этих случаях наряду с исходной теоремой верна и обратная; на примере теоремы о вертикальных углах - что возможен случай, когда прямая теорема верна, а обратная утверждение неверно.

Можно также предложить ученикам сформировать теорему обратную к теореме 3.4 (или к любой другой, которую они формировали как обратную), и убедиться в том, что теорема, обратная обратной, есть прямая теорема.

многоугольник геометрия методика школьный