3.2 Признаки равенства треугольников

Основная идея доказательства I и II признаков равенства треугольников в учебнике Атанасяна (4) и др. Атанасян Л.С. состоит в последовательном осуществлении наложения одного из данных треугольников на другой и доказательства совмещения их при таком наложении. В доказательстве III признака существенно используется свойство углов при основании равнобедренного треугольника.

Доказательство первых двух признаков равенства треугольников в учебном пособии А.В. Погорелова (18) и пробном учебнике А. Д. Александрова (2) и др. Бевз Г.П. (5) сводится к доказательству совпадения некоторого третьего треугольника, равного первому и определенным образом расположенного относительно второго, с этим вторым данным треугольником. При доказательстве первых двух признаков равенства можно использовать серию рисунков, отражающих динамику доказательства, отдельные его этапы. Так, при рассмотрении первого признака полезно использовать серию рисунков.

Рассмотрим методику изучения признаков равенства треугольников по учебнику А.В.Погорелова.

Тема: «Первый признак равенства треугольников». Чтобы подвести к формулировке теоремы, можно в начале урока предложить учащимся следующее задание практического характера:

Начертите треугольник ABC.

Проведите луч MN и отложите от него угол KMN, равный углу ВАС. На луче МК отложите отрезок MP, равный отрезку АВ, а на луче MN - отрезок ME, равный отрезку АС.

Соедините точки Р и Е.

Измерьте и сравните отрезки ВС и РЕ, углы ABC и МРЕ, углы АСВ и МЕР.

Запишите равные между собой элементы построенных треугольников.

По ходу выполнения задания ставятся вопросы:

Сколько равных между собой углов можно отложить от данного луча?

Что значит «Треугольник МРЕ равен треугольнику ABC»?

Сформулируйте аксиому существования треугольника, равного данному, если считать данными треугольник ABC и полупрямую MN.

В результате выполнения задания на доске и в тетрадях появляется чертеж (рис.1) и запись:

Рис. 1

По условию AB=МР, AC=МЕ, ВАС=РМЕ. Результаты измерений

АСВ=МЕР, АВС=МРЕ, ВС=РЕ.

Опираясь на определение равных треугольников, из того, что все шесть элементов одного треугольника соответственно равны мести элементам другого, делается вывод: АВС=МРЕ.

Это задание подводит учащихся к формулировке первого признака равенства треугольников.

Теорема 3.1: (признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними). Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство:

1. Пусть Дано: ?АВС и ?А₂В₂С_2, (по аксиоме IV).

Причем расположен он может быть следующим образом: одна его вершина совпадает с вершиной А₁ другая (В₂) лежит на луче А₁В₁ a третья - (С₂) лежит в той же полуплоскости относительно прямой А₁В₁, что и вершина С.

2. Т.к. А₁В₁=AB (по условию), то AB=A₁B₂ (из п.1), следовательно В₂ совпадает с вершиной В_1.

3. Т.к. B₁A₁C₁ = BAC (по условию), то B₂A₁С₂=BAC (из п.1), следовательно, B₁A₁C₁ = B₂A₁С₂

Тогда луч A₁С₂ совпадает с лучом A₁C_1.

4. AC= A₁C₁ (по условию), A₁С₂=AC (из п.1), следовательно A₁C₁= A₁С_2. Тогда вершина С₂ совпадет с вершиной С₁.

Таким образом, ?АВС = ?А₁В₁С₁

Ч.т.д.

После доказательства теоремы о первом признаке равенства треугольников предлагаются задачи:

Задача 1.В каждой из изображенных на рисунке пар треугольников равные элементы треугольников указаны пометками. Какие треугольники равны по первому признаку?

Задача 2.Отрезки AR и ВН делят друг друга пополам в точке F. Доказать, что AB=RH.

3адача 3. Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О, которая является серединой каждого из них. Чему равен отрезок BD, если отрезок АС=10м?

Дано: АВUCD=0,AO=OB, CO=OD, АС=10м.

Найти: BD.

Решение.

?AOC=?BOD (по I признаку равенства треугольников).

1)AOC = BOD - вертикальные углы.

2)ОА=ОВ и OC=OD (т.к. точка О - середина отрезков АВ и CD).

Из равенства треугольников АОС и BOD следует равенство их сторон

АС и BD. А т.к. АС=10м (по условию), то и BD=10m.

Ответ: BD=1 Ом.

3адача 4. На стороне ВС ?АВС отмечена точка D, а на стороне B₁С₁ ?А₁В₁С₁ - точка D_1, причем BAD=B₁A₁D₁. Докажите, что если ?ADC=?A,D₁C_1, то ?АВС=?А₁В₁С₁.

Дано: ?АВС и ?А₁В₁С₁, BAD=B₁A₁D₁, ?ADC=?A,D₁C₁.

Доказать: ?ABC=?A₁B₁C1.

Ч.т.д.

Затем учащимся можно предложить систему задач:

1. Докажите равенство треугольников ADC и ABC, изображенных на рисунке, если AD=AB и 1=2. Найдите: ADC и ACD, если ACB=38⁰, ABC=102⁰.

2.Известно, что ?АВС=?А₁В₁С₁, причем A=A_1, B=B₁. На сторонах АС и A₁C₁ отмечены точки D и D₁ так, что CD=C₁ D₁. Докажите, что ?CBD=?C₁B₁ D_1.

3.Известно, что ?МКР=?М₁К₁Р₁ причем M=M₁, K=K_1. На сторонах MP и M₁P₁ отмечены точки Е и Е₁ так, что МЕ=М₁Е₁. Докажите, что ?МЕК=?М₁Е₁К₁.

4.Через середину О отрезка АВ проведена прямая, перпендикулярная прямой АВ. Докажите, что каждая точка X этой прямой одинаково удалена от точек А и В.

Аналогично рассматриваются доказательства II и III признаков.

Теорема 3.2 (признак равенства треугольников по стороне и прилежащим к ней углам). Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Теорема 3.3 (признак равенства треугольников по трем сторонам). Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

И можно привести следующую систему задач, направленную на выработку соответствующих умений и навыков:

1. В каждой из изображенных на рисунке пар треугольников равные элементы треугольника указаны пометками. Какие треугольники равны по II признаку, а какие равны по III признаку?

2.В треугольниках МРК и XYZ РМК=ZYX, MKP= YXZ и сторона РК равна стороне XY. Докажите равенство сторон РК и ZX.

3.На рисунке AB=CD и BD=AC. Докажите, что:

a) CAD =ADB;

б) BAO = CDB.

4.В треугольнике DEC и D₁E₁С₁ DE= D₁E_1, D=D_1, E=E₁. На сторонах DE и D₁E₁ отмечены точки Р и P₁ так, что DCP= D₁С₁ P₁. Докажите, что:

a) ?DCP=?D₁C₁P₁;

б) ?СРЕ=?С₁Р₁Е₁.

5.На рисунке, треугольник MNP равнобедренный с основанием MP, точка К - середина отрезка MP, MKE=PKF. Докажите, что ?NEK=?NFK.