Изучение темы "Многоугольники" в школьном курсе геометрии

§4. методика изучения темы «Четырехугольники»

Четырехугольники - традиционный для курса планиметрии материал. Как и треугольник, четырехугольник трактуется в одних учебниках как простая замкнутая четырехзвенная ломаная, в других - как часть плоскости, ограниченная такой ломаной. Из всевозможных четырехугольников выделяют выпуклые. Во всех действующих в настоящее время пособиях осуществляется одинаковый подход во введении частных видов параллелограммов: прямоугольников и ромбов. Квадрат в одних учебниках вводится как четырехугольник, который одновременно является прямоугольником и ромбом. В других квадрат определяется как частный вид прямоугольника. Трапеция рассматривается после параллелограммов.

При установлении различных свойств и признаков параллелограмма широко используются свойства и признаки равных треугольников, свойств углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых третьей, признаки параллельности прямых. Материал о параллелограммах и их частных видах очень удобен для формирования и развития логического мышления учащихся. Именно здесь учитель имеет широкие возможности по работе с определениями: предложить, например, ученику дать определение прямоугольника через понятие прямоугольника, параллелограмма и т.д.

4.1 Параллелограмм

В учебнике «Геометрия 7-11» А.В. Погорелова (18) тема «Параллелограмм» изучается в 6 параграфе «Четырехугольники» в трех пунктах.

В п.51 «Параллелограмм» в начале вводится определение параллелограмма: «Параллелограмм - это четырехугольник, у которого противолежащие стороны параллельны, т.е. лежат на параллельных прямых», а затем рассматривают и доказывают признак параллелограмма (Т.6.1).

Теорема 6.1: Если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник -параллелограмм.

В п.52 «Свойство диагоналей параллелограмма» и п.53 «Свойство противолежащих сторон и углов параллелограмма» изучаются свойства параллелограмма:

1. Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. (Т.6.2, которая является обратной теореме 6.1).

2. У параллелограмма противолежащие стороны равны, противолежащие углы равны. (Т.6.3)

В учебнике «Геометрия 7-9» Л. С. Атанасяна (5) тема «Параллелограмм» рассматривается в §2 «Параллелограмм и трапеция» в пунктах 42 и 43.

Определение и свойства параллелограмма даются в п.42 «Параллелограмм»:

Опр.: Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны. Свойства:

1. В параллелограмме противолежащие стороны и противолежащие углы равны.

2. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

Л.С. Атанасян выделяет три признака параллелограмма, которые изучаются в 43 пункте «Признаки параллелограмма»:

Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник - параллелограмм.

Если в четырехугольнике противолежащие стороны попарно равны, то этот четырехугольник - параллелограмм.

3. Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник - параллелограмм.

Рассмотрим методику изучения темы «Параллелограмм» на примере геометрии А.В. Погорелова. Понятие параллелограмма вводится с помощью таблицы «Четырехугольники».

В таблице показаны два вида четырехугольников: параллелограммы и не параллелограммы.

Параллелограмм иллюстрируется не одним объектом, входящим в объем этого понятия, что дает возможность с первого урока учащимся не приписывать этому понятию несущественные признаки: один угол острый, а другой - тупой, стороны не равны и т.д.

Классу задается вопрос: по какому признаку разделили все четырехугольники на два вида? (У четырехугольников справа противолежащие стороны параллельны.)

Составляется определение параллелограмма: параллелограммом называется четырехугольник, у которого противолежащие стороны параллельны, т.е. лежат на параллельных прямых.

Термин «параллелограмм» происходит от объединения греческих слов «параллелос» - то, что идет рядом, и «грамма» - черта, линия (этот термин ввел Евклид).

После введения определения параллелограмма школьники решают следующие задачи:

3адача 1. При пересечении двух прямых а и b прямыми с и d образуется четырехугольник ABCD. Определите в каком случае четырехугольник является параллелограммом?

Ответ: a) a||b, с||d; б) a||b, c||d; в) а||b; г) с||d.

Задача 2. В треугольнике ABC параллельно сторонам АВ и АС проведены прямые DG и FG. Определите вид четырехугольника AFGD.

Решение.

Т.к. AF||DG. AD||FG ( по условию), следовательно AFGD- параллелограмм ( по определению).

Ответ: AFGD-параллелограмм.

Задача 3.В параллелограмме ABCD параллельно стороне АВ проведена прямая FG. Определите вид четырехугольника ABFG.

AB||GF, BF||AG, следовательно ABFG - параллелограмм (по определению параллелограмма).

Ответ: ABFG - параллелограмм.

Задача 4. В треугольнике ABC проведена медиана BF. На ее продолжении за точку F отложен отрезок FD, равный BF. Докажите, что четырехугольник ABCD - параллелограмм.

Дано: BF-медиана ?АВС, FD=BF.

Доказать: ABCD-параллелограмм.

Решение. AF=CF, так как BF - медиана ?АВС. FD=BF по условию.

Следовательно, в четырехугольнике ABCD диагонали АС и BD пересекаются и точкой пересечения F делятся пополам. Следовательно, по признаку параллелограмма четырехугольник ABCD - параллелограмм.

Ч.т.д.

Признаки параллелограмма

Для «открытия» теоремы 6.1 учащимся предлагается в тетрадях выполнить следующие построения: провести две пересекающиеся прямые, отложить на них точки пересечения соответственно равные отрезки АО=ОС, OB=OD (AO не равен ОВ) и полученные точки А, В, С, D последовательно соединить отрезками. Такой подход дает возможность учащимся лучше понять и запомнить содержание теоремы, не путать ее условие и заключение.

Классу задается вопрос: Какой же получился четырехугольник? Формулируется теорема 6.1, записывается ее условие.

Теорема: Если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник -- параллелограмм.

Дано: ABCD - четырехугольник, ACUBD=0,AO=OC, BO=OD.

Доказать: ABCD-параллелограмм.

Доказательство.

ABCD - четырехугольник, точка О - точка пересечения его диагоналей.

Рассмотрим ?AOD и ?СОВ, они равны, т.к.

AOD= COB (вертикальные), OD=OB ( по условию теоремы), ОА=ОС ( по условию теоремы).

=> OBC=ODA, а они являются внутренними накрест лежащими для прямых AD и ВС и секущей BD.

=> AD||BC ( по признаку параллельности прямых).

Аналогично доказывается параллельность прямых АВ и CD => ABCD - параллелограмм (по определению).

Ч.т.д.

Свойства параллелограмма

После введения определения параллелограмма и его признака, изучают свойства.

Свойство диагоналей параллелограмма учащиеся легко обнаружат, выполнив соответствующий рисунок.

Теорема 6.2 (обратная теореме 6.1): Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

Дано: ABCD-параллелограмм,

АС и BD-диагонали.

Доказать: AC?BD и точкой пересечения делятся пополам.

Доказательство.

Пусть ABCD - данный параллелограмм.

BD - диагональ, точка О ее середина. Предположим, что существует точка d, такая что АО=ОС_1.

Получаем, что ABС₁D - параллелограмм (по Т.6.1).

=>BC||AD. Получили противоречие, т.к. через точку можно провести только одну прямую, параллельную данной. Значит ВС₁ совпадает с ВС.

Точно так же доказывается, что прямая DC₁ совпадает с прямой DC.

Значит, что C₁ совпадает с точкой С => ABCD совпадает с ABC₁D. Поэтому его диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

Ч.т.д.

Теорема 6.3: У параллелограмма противолежащие стороны равны, противолежащие углы равны.

Дано: ABCD-параллелограмм, АС и BD-диагонали, AC?BD=0

Доказать: AB=CD, AD=BC,

Доказать: AB=CD, AD=BC, B=D.

1. Рассмотрим ?АОВ и ?DOC, они равны, т.к. ОА=ОС, OB=OD (свойство диагоналей), AOB=COD (вертикальные) => AB=CD.

Равенство AD и ВС доказывается аналогично из треугольников AOD и СОВ.

2. ?ABC=?CDA (по III признаку равенства треугольников) AB=CD BC=DA

АС - общая, =>ABC=CDA. Равенство углов BCD и DAB доказывается аналогично.

Ч.т.д.

После этого учащиеся приступают к решению задач.

Задача 1: Через точку пересечения диагоналей параллелограмма проведена прямая. Докажите, что отрезок ее, заключенный между параллельными сторонами, делятся этой точкой пополам.

Дано: ABCD-параллелограмм,

АС, BD-диагонали, AC?BD = 0, FE-прямая, OЄFE.

Доказать: FO=OE.

Доказательство.

ABCD:

EF?АВ = Е

EF?DC = F

?ОАЕ = ?OCF(по II признаку)

О А = ОС (т.к. О - середина диагонали АС)

O =О (вертикальные)

EA О = FCO (внутренние накрест лежащие при параллельных прямых АВ, CD и секущей АС)

=>ОЕ = OF.

Ч.т.д.

Задача 2: Докажите, что если у четырехугольника две стороны параллельны и равны, то он является параллелограммом.

Дано: ABCD - четырехугольник, АВ||CD, AB=CD.

Доказать: ABCD - параллелограмм.

Доказательство.

Через вершину В проведем прямую b, b||AD, b?DC = C_l.

ABC₁D - параллелограмм (т.к.у параллелограмма противолежащие

стороны равны), то C₁D = AB.

Т.к. AB = CD=>DC = DC₁=>C = C₁

=> ABCD совпадает с ABC₁D => ABCD - параллелограмм.

Ч.т.д.

После введения перечисленных свойств и признаков параллелограмма учащимся можно предложить систему задач, направленную на выработку соответствующих умений и навыков.

1. Сторона AD параллелограмма ABCD равна 9см, а его диагонали равны 14см и 10см. О - точка пересечения диагоналей. Чему равен периметр AAOD?

2. В параллелограмме ABCD диагонали равны, О - точка пересечения диагоналей. Докажите, что?AOD-равнобедренный.

3. Стороны АВ и ВС параллелограмма ABCD равны 9см и 6см. Чему равны стороны CD и AD?

4. В параллелограмме сумма двух углов равна 120. Могут ли эти углы прилежать к одной стороне параллелограмма.

5. В равнобедренный треугольник вписан параллелограмм так, что угол параллелограмма совпадает с углом при вершине треугольника, а вершина противолежащего угла лежат на основании. Докажите, что периметр параллелограмма есть величина постоянная для данного треугольника.

Конспект урока по теме «Параллелограмм. Свойства параллелограмма».

Цели урока:

образовательные цели направлены на усвоение и закрепление понятия параллелограмма, его свойств, навыка построения параллелограмма и применения его свойств при решении задач;

развивающие цели данного урока направлены на развитие пространственного воображения учащихся, логического мышления; совершенствование графической культуры, формирование навыков осмысленного понимания теорем и быстрого их запоминания, развитие умений применять знания в различных ситуациях; умений самостоятельной работы;

воспитательные цели урока направлены на формирование положительной мотивации учения, воспитание самостоятельности и коллективизма.

Исходя из типа урока, целей урока, содержания учебного материала на уроке используются следующие методы и приемы обучения:

· эвристический (постановка проблемы и организация деятельности по ее решению);

· практический (закрепление умений и навыков происходит в ходе выполнения практических заданий);

· словесный;

· наглядный.

формы обучения

· общеклассная (на этапе изучения нового материала ведется работа со всем классом, что необходимо для закрепления материала обязательного уровня всеми учениками класса);

· индивидуальная и групповая (учащиеся работают самостоятельно, в парах, исходя из своих возможностей).

Обрудование: компьютер, мультимедийный проектор или интерактивная доска, линейки, угольники, циркули, нелинованная бумага, рабочая карта урока.

Урок проводится в сопровождении мультимедийной презентации PowerPoint.

Ход урока:

Деятельность учителя	Деятельность учащихся	Комментарий к слайдам
1. Организационный момент. Слайд 2. Учитель сообщает тему урока, формулирует цели урока.		Слайд 2
2. Актуализация опорных знаний. - Повторим свойства параллельных прямых. Как называются углы, изображенные на рисунках? Сформулируйте свойства параллельных прямых. Слайд 3	Учащиеся после просмотра каждого рисунка формулируют свойства параллельных прямых	Слайд 3
- Повторим признаки равенства треугольников. Слайд 4	Учащиеся формулируют признаки равенства треугольников.	Слайд 4
Устная работа с рисунком на Слайде 5. 1) Назовите пары параллельных прямых; 2) укажите четырехугольники, у которых не более двух параллельных прямых; 3) укажите четырехугольники, у которых стороны попарно параллельны.	Ответы учащихся: 1) AB CD, AB EF, AE KO, NR BF; 2) KMPN, MPRO, KNRO и т.д.; 3) AKMC, CMOE, NPBD, PDFR, AKOE, NBFR и т.д.	Слайд 5 После ответов учащихся 2) и 3) четырехугольники по клику мышки меняют цвет. По гиперссылке возвращаемся на слайд с целями урока Слайд 2.
3. Изучение нового материала. - Четырехугольники, у которых стороны попарно параллельны, являются параллелограммами. Запишите это определение в тетрадь (Слайд 6). Назовите противоположные стороны параллелограмма.		Слайд 6 По клику мышки появляется запись: пары параллельных сторон - противоположных сторон.
- Ребята, как вы предполагаете, какими свойствами обладает параллелограмм?	Предположения учащихся: ь диагональ делит параллелограмм на равные треугольники; ь противоположные стороны равны; ь противоположные углы равны; ь стороны параллельны сумма односторонних углов равна 180; ь вторая диагональ делит параллелограмм на 4 попарно равных треугольника; ь диагонали в точке пересечения делятся пополам.	Слайд 7
- Но пока это только наши утверждения, которые требуют доказательства. Давайте попытаемся вместе доказать Свойство 1 (Слайд 8) и Свойство 2 (Слайд 10)	По ходу доказательства теорем, учащиеся делают записи в тетради	Слайд 8 Все необходимые элементы чертежа и записи теоремы появляются по клику мыши.
- Теперь, ребята, я предлагаю вам повторить доказательство с помощью анимированного чертежа (Слайд 9, 11)	Учащиеся повторяют доказательства ( учитель помогает, руководя анимацией)	Слайд 9 Теперь записей на чертеже нет.
		Слайд 9
		Слайд 10
4. Физкультминутка (1,5-2 мин) 5. Практическая работа. - Ребята, сейчас вы делали чертежи параллелограммов в тетради с помощью клеточек. А как построить параллелограмм на нелинованной бумаге? Как могут свойства параллелограмма вам в этом помочь?	Ответы учащихся: - Так как у параллелограмма противоположные стороны параллельны, то параллельные прямые можно построить с помощью угольника и линейки.	Слайд 11
Можно предложить учащимся: 1)посмотреть готовые анимации построения на Слайдах 11,12; 2) построить на доске мелом или интерактивной доске маркером.	- Так как диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам, то можно на пересекающихся прямых от точки пересечения отложить парные равные отрезки с помощью циркуля, а потом последовательно соединить полученные точки пересечения. Учащиеся строят параллелограммы на доске и на нелинованных листах. Работают в парах: проверяют друг у друга выполненные работы.	Слайд 12
6. Закрепление полученных знаний и умений. Решение задач. (Слайды 13, 14)	Сильные учащиеся решают задачи самостоятельно, остальные - с помощью учителя. Решение: MNPK - параллелограмм NP=MK=7см, PK=NM=4 см P= (7+4)2 = 22 см M = P = 70 N = K = 180- 70= 110	Слайд 13
	Решение: по свойству параллелограмма ВО = ОD, ВОМ = КОD - вертикальные, МВО = DОК - накрест лежащие углы при параллельных прямых ВМ и DК и секущей ВD ?OMB = ?OKD (по стороне и двум прилежащим углам). Решение задач проверяются и обсуждаются совместно с учителем	Слайд 14
Подведение итогов. Задание на дом. Подведем итоги нашего урока. 1. Достигли ли мы поставленной цели? 2. Какой главный итог нашего урока? 3. Что мы использовали для достижения цели урока? Запишите домашнее задание. Благодарю всех за урок. Молодцы.	Да, мы узнали определение и свойства параллелограмма, научились строить параллелограмм. Изученные свойства параллелограмма можно применить в различных ситуациях: помогают решать задачи, делать построения. Свойства параллельных прямых, признаки равенства треугольников, формула периметра. Домашнее задание п. 42, теоремы о свойствах параллелограмма, № 371 б), 372 в), 376 а),в).	Слайд 15

4.2 Методика изучения темы «Прямоугольник»

В учебнике «Геометрия 7-11» А.В. Погорелова (18) понятие «прямоугольник» вводится в §6 «Четырехугольники» в пункте 54 «Прямоугольник»: Прямоугольник - это параллелограмм, у которого все углы прямые.

В учебнике «Геометрия 7-9» Л.С. Атанасяна (4) тема «Прямоугольник рассматривается в §3 «Прямоугольник, ромб, квадрат» в п.45 «Прямоугольник»: в начале параграфа вводится определение: «прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые», а затем рассматривают свойство прямоугольника (диагонали прямоугольника равны) и признак прямоугольника (если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм - прямоугольник).

Рассмотрим методику изучения темы «Прямоугольник» на примере учебника А.В. Погорелова.

Прямоугольник - это параллелограмм, у которого все углы прямые.

Для изучения свойства прямоугольника, классу можно предложить вопросы:

1. Равны ли диагонали у произвольного параллелограмма? (на доске нарисован параллелограмм, не являющийся прямоугольником).

2. Равны ли диагонали у прямоугольника?

3. Докажите равенство диагоналей прямоугольника ABCD, рассмотрев треугольники BAD и CDA.

4. Сформулируйте теорему о свойствах прямоугольника.

Теорема 6.4. Диагонали прямоугольника равны.

После введения определения и свойства прямоугольника школьники решают задачи.

Задача 1. Докажите, что если у параллелограмма все углы равны, то он является прямоугольником.

Дано: ABCD-параллелограмм,

A=B=С=D.

Доказать: ABCD-прямоугольник.

Доказательство.

A+B=180, т.к. они являются внутренними односторонними при параллельных прямых ВС и AD и секущей АВ. => A=B=90.

=> ABCD - прямоугольник.

Задача 2. В параллелограмме из вершин углов на противолежащие стороны опущены перпендикуляры. Докажите, что полученный четырехугольник - прямоугольник.

Дано: GBFD-параллелограмм,

BAGD,DCBF.

Доказать: ABCD-прямоугольник.

Доказательство.

BC||AD, так как GBFD - параллелограмм;

BAD=90, так как BAGD.

АВС=90, так как BAD и ABC-- внутренние односторонние углы при BF||GD и секущей АВ.

BCD=90, так как DCBF.

CAD=90, так как CAD и BCD - внутренние односторонние углы при BF||GD и секущей DC.

BA||DC, так как BAD и CDA - внутренние односторонние углы при прямых АВ и CD и секущей AD и BAD+CDA=180.

Следовательно, ABCD - параллелограмм, у которого все углы равны.

Значит, ABCD - прямоугольник.

Задача 3.В прямоугольнике ABCD диагональ АС образует со стороной AD угол, равный 37. найдите градусную меру угла ACD. (решение устно)

Ответ: ACD=53.

Затем им можно предложить систему задач, направленную на выработку соответствующих умений и навыков.

1. В параллелограмме KLMN каждый из углов LKM и MNL равен 57. определите, является ли параллелограмм KLMN прямоугольником.

2. Докажите, что если в четырехугольнике три угла прямые, то он является прямоугольником.

3. ABCD - прямоугольник. О - точка пересечения диагоналей. Докажите, что ААОВ - равнобедренный.

4. В прямоугольный равнобедренный треугольник вписан прямоугольник так, что угол прямоугольника совпадает с углом при вершине треугольника, а вершина противолежащего угла лежит на гипотенузе. Докажите, что периметр прямоугольника есть величина постоянная для данного треугольника.

5. Стороны прямоугольника равны 5см и 4см. биссектрисы углов, прилежащих к большей стороне, делят противолежащую сторону на три части. Найдите длины этих частей.

Конспект урока по теме «Прямоугольник».

Цели урока:

повторить понятие прямоугольника, опираясь на полученные ранее знания учащихся;

рассмотреть свойства прямоугольника как частного вида параллелограмма и научить учащихся применять их в процессе решения задач.

Ход урока

Содержание