16.Алгебра логики. Понятие высказывания. Логические константы, переменные, функции. Логические выражения.

Алгебра логики (высказываний) - раздел математической логики, изучающий высказывания и логические операции над ними.

Высказывание(суждение) – любое повествовательное предложение в отношении которого можно однозначно сказать, истинно оно или ложно.

Примеры высказываний:

1) Земля - планета Солнечной системы.

2) 2+8<5

3) 5×5=25

4) Всякий квадрат есть параллелограмм

5) Каждый параллелограмм есть квадрат

6) 2×2=5

Высказываниями не являются:

• восклицательные и вопросительные предложения;

• определения;

• предложения типа:

«он сероглаз»

«x2-4x+3=0»

Алгебра логики (высказываний) работает с высказываниями.

Различают:

• Логические константы (логические утверждения) – конкретные частные утверждения.

Истина: Аристотель - основоположник логики.

Ложь: На яблонях растут бананы.

• Логические переменные (предикаты)– логические высказывания, значения которых меняются в зависимости от входящих в них переменных, обозначаются заглавными латинскими буквами А, В, С,D,F,…

А = {Аристотель - основоположник логики} – истина.

В = {На яблонях растут бананы} – ложь.

Истинному высказыванию ставится в соответствие 1, ложному — 0. Таким образом, А = 1, В = 0.

• Логические функции (логические формулы) – сложные логические выражения, образованные из простых и связанные логическими операциямиИ, ИЛИ, НЕи др.)

Высказывание «Все мышки и кошки с хвостами» является сложным и состоит из двух простых высказываний.

А=«Все мышки с хвостами» и В=«Все кошки с хвостами»

Его можно записать в виде логической функции, значение которой истинно: F(A,B)=AиB.

В математической логике не рассматривается конкретное содержание высказывания, важно только, истинно оно или ложно.

Поэтому высказывание можно представить некоторой переменной величиной, значением которой может быть только ложь (0)илиистина (1).

Истина,ложь–логические константы.

В алгебре логики высказывания принято обозначать прописными латинскими буквами: A, B, X, Y.

Логические высказывания:

Логические выражения бывают простымиилисоставными (сложными).

Простое логическое выражение состоит из одного высказывания и не содержит логических операций. В нём возможно только два результата – либо «истина», либо «ложь».

• На улице светит солнце. (А)

• На улице идет дождь. (В)