1. Математические задачи, приводящие к необходимости развития аппарата приближенных вычислений

Чтобы понять роль приближенных вычислений в школьной математике познакомимся с их ролью в науке. Подчеркнем важность и широкое применение приближенных вычислений.

В ходе анализа следующей [6, 13, 16, 17, 19, 29] литературы нами были выделены ряд направлений, с которыми связана необходимость приближенных вычислений.

1) нахождение численного решения прикладных задач (например, изучение явлений природы), [6];

2) приближенное нахождение иррациональных чисел; нахождение решений алгебраических и трансцендентных уравнений, [13, 16, 19, 29];

3) приближенные формулы, [17];

4) приближение функции, [13, 17].

Остановимся на каждом направлении подробнее.

1. Нахождение численного решения прикладных задач

При нахождении численного решения прикладных задач (напр., изучение явлений природы, получение их математического описания, т. е. математической модели явления и его исследования) нельзя обойтись без приближенных вычислений. Анализ усложненных моделей требует создания специальных, численных методов решения задач. Необходимо знание, насколько тот или иной метод точен, а для этого нужно обратиться к приближенным вычислениям.

2. Нахождение решений алгебраических и трансцендентных уравнений

Приближенное нахождение значений иррациональных чисел, нахождение решения алгебраических и трансцендентных уравнений - это задача теории чисел. При решении этой задачи необходимо оценивать точность приближения, в результате развивается аппарат, связанный с погрешностью.

Умение оперировать с приближенными числами дает возможность для приближенного решения уравнений (алгебраических и трансцендентных). В пособии [27, с. 78] алгебраическим называют комплексное или действительное число x0, удовлетворяющее уравнению вида

,

где числа a0, a1, …, an целые, и не все равны нулю, а n - натуральное. Всякое действительное или комплексное число, не являющееся алгебраическим, называется трансцендентным.

При нахождении решений алгебраических и трансцендентных уравнений решается две общих задачи:

1) получить метод, дающий возможность улучшить приближения;

2) получить приближенное решение с заранее заданной степенью точности.

В [13] различают методы для нахождения приближенных корней алгебраических и трансцендентных уравнений.

Нахождение корней алгебраического уравнения

Для приближенного нахождения корней алгебраического уравнения нужно по правилу Декарта определить число положительных и отрицательных корней, после отделить их. Отделив корень, мы получаем возможность, в качестве его приближенного значения взять любое число из выделенного отрезка.

Отделение действительных корней уравнения F(x) = 0 очень удобно производить графически. Значения действительных корней уравнения F(x) = 0 являются абсциссами точек пересечения графика функции y = f(x) с осью Ox. Чтобы указать отрезки, заключающие только по одному корню уравнения, не требуется особой точности.

Для улучшения приближения корней алгебраического уравнения используют четыре способа:

Способ 1. Способ Ньютона (способ касательных).

В этом способе приближенное значение действительного корня улучшается по формуле

= - .

Корень необходимо отделить, т. е. определить отрезок [a,b], в котором находится единственный действительный корень. За первое приближение корня следует взять значение того конца этого отрезка, на котором знак функции совпадает со знаком ее второй производной.

Например, найдем корень уравнения х2 - х - 1 = 0. Действительный корень находится на отрезке [2, 3].

= 3 - ;

= 2; - ;

= 5/3.

Способ 2.Способ линейной интерполяции (способ хорд).

Для вычисления (n + 1) - го приближения корня пользуются формулой

=

Заметим, что хn и хi - значения, между которыми находится искомый корень. За первое приближение корня можно принять значение любого из концов отрезка, на котором находится отделенный корень.

Способ 3. Служит для определения приближенного значения наибольшего и наименьшего по абсолютной величине корня алгебраического уравнения.

Если дано уравнение , то простой, наибольший по абсолютной величине корень можно приближенно найти из уравнения . Приближенное значение меньшего по абсолютной величине корня можно найти из уравнения .

Например,.

1) - 1 = 0, = 1 приближенный больший по абсолютной величине корень.

2) -- 1 = 0, = - 1 приближенный меньший по абсолютной величине корень.

Способ 4. В уравнении отбираем три последних члена и решаем квадратное уравнение .

Корни уравнения действительны, тогда решаем уравнение и за первое приближение корня берем = .

Левую часть уравнения делим на . Деление проводим по схеме Горнера. Деление проводим до тех пор, пока не останется двучлен вида:, который не делится без остатка на. . Из уравнения находим второе приближение корня = - .Левую часть уравнения делим на по схеме Горнера и получаем остаток в виде и т. д.

Обычно этот процесс приводит к ряду значений,…, приближающихся к искомому корню. После того, как мы остановились на некотором приближении корня и приняли его за искомое значение корня, разделим левую часть уравнения на . Получится многочлен степени на единицу меньшей, чем левая часть данного уравнения. Приравниваем этот многочлен нулю и с полученным новым уравнением поступаем, как было описано выше.

При решении алгебраических уравнений используют также методы последовательных приближений (итерационный метод) [13] и половинного деления отрезка [16, 29].

Метод последовательных приближений

Для того чтобы использовать метод последовательных приближений, уравнение нужно преобразовать к виду , где (х)=х, (х)=f(x). Подставляя последовательно в значения , находим - -е приближение к корню уравнения.

Заметим, что если последовательность х0, х1, х2, …, хn, … сходится, т.е. иметь предел, то этот предел будет корнем уравнения.

Например, решим уравнение х2 - х - 1 = 0

х = 1 + 1/х (х) = 1 + 1/х.

х0 = 2 первое приближение корня;

х1 = 1,5 второе приближение корня;

х2 = 1третье приближение корня; и т. д.

Половинного деления отрезка

Представим уравнение F(x) = 0 в виде (х) = (х);

1. Построим графики у = (х) и у = (х);

2. Значение х точки пересечения графиков будет являться корнем уравнения.

3. Выберем отрезок [а, b], содержащий точку пересечения.

4. Отрезок [a, b] делим на две части точкой z1 = (a+b)/2;

5. Если F(z1) = 0 то z1 - искомый корень. Если F(z1) 0, то из двух отрезков [a,z1] и [z1,b] выберем тот, для которого значение функции f(x) на его концах имеет разные знаки, и обозначим его через [a1,b1]. Если теперь взять точку z2=(a1+b1)/2 то снова или F(z2) = 0 или F(z2) 0 и т.д.

Например,

х2 - х - 1 = 0.

x = 1 + 1/х.

Точка пересечения графиков расположена на отрезке [2, 3].

Отрезок [1; 2] содержит точку пересечения графиков.

1) z1 = (1 +2)/2 = 1.5;

Получили два отрезка: [1; 1.5] и [1.5; 2].

Для отрезка [1.5; 2] значения функции имеют разные знаки. В самом деле,

12 - 1 - 1 = -1;

1.52 - 1.5 - 1 = -0.25;

22 - 2 - 1 = 1;

2) z2 = (1.5 + 2)/2 = 1.75;

Получили два отрезка: [1.5; 1.75] и [1.75; 2].

Для отрезка [1.5; 1.75] значения функции имеют разные знаки. В самом деле,

1.52 - 1.5 - 1 = -0.25;

1.752 - 1.75 - 1 = 0.3125;

22 - 2 - 1 = 1.

Таким образом, корень расположен на промежутке [1.5; 1.75]. Продолжая процесс можно найти корень с некоторой заданной степенью точности.

Нахождение корней трансцендентных уравнений

При решении трансцендентных уравнений необходимо уравнение F(х) = 0 представить в виде (х) = (х). После используют два способа приближенного решения уравнений:

1) Графическое решение.

Строят графики кривых у = (х) и у = (х); абсциссы точек пересечения кривых будут искомыми корнями данного уравнения. Далее пользуются методами для нахождения корней алгебраических уравнений.

2) Итерационный метод.

Пусть х = (х) и (х) = (х).

а) графически или методом проб находят первое приближение корня

х = х0, х0 = первое приближение корня.

б) в правую часть уравнения х = (х) подставим х0 и тогда х1 = (х).

х1 - второе приближение корня.

в) подставляем в правую часть уравнения х = (х) значение х1 вместо

х, х2 = (х1), х2 - третье приближение корня.

г) таким образом, приближения получаются по следующей схеме:

х1 = (х0);

х2 = (х1);

х3 = (х2);

х4 = (х3) и т.д.

Важно отметить, что трансцендентное число можно представить при помощи числового ряда. Так, например в энциклопедии [29], сумма ряда 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - … равна /4; сумма ряда 1/12 +1/22 + 1/32 + ј2 + … равна 2/6. Эти суммы дают возможность приближенно вычислить число с любой, наперед заданной, степенью точности (если взять достаточно много членов ряда). Точность будем определять, пользуясь понятиями верных и значащих цифр.

3. Приближенные формулы

Существует еще один раздел, тесно связанный с приближенными вычислениями - приближенные формулы. В энциклопедии [17, с.489] приближенная формула определяется как “формула f(х)f*(х), получаемая из формулы вида f(х) = f*(х) + (х), где (х) рассматривается как погрешность и после оценки отбрасывается”. Приближенные формулы позволяют при вычислении с приближенными числами быстро найти приближенный ответ. Приведем несколько наиболее употребительных приближенных формул, причем отметим, при каких ограничениях на |х| формула будет давать k точных десятичных знаков.

В приложении 1 к данной дипломной работе представлены графики функций, позволяющие увидеть, насколько близки друг к другу точные и приближенные корни уравнений.

В учебнике Башмакова М. И. [7] представлены формулы для приближенных вычислений значений функции

f(x) - y0 f/(x0)x; y y0 + dy; у у0 + f/(x0)(x - x0).

Применяя вышеперечисленные формулы можно построить несколько приближенных формул.

- Дана степенная функция у = хn. Зафиксируем точку х0 и применим формулу: (х0 + х)n х0n + nx0n-1х.

- Дана функция у = .

Получаем приближенную формулу: - .

4. Приближение функции

В БЭС [17, с. 487] приближение функций определяется как “нахождение для данной функции f функции g из некоторого определенного класса, в том или ином смысле близкой к f, дающей ее приближенное представление”. Задача о приближении функции - это задача о замене одних функций другими функциями. Эта задача постоянно возникает как в математике, так и в ее приложениях, т. к. существуют теоретические и прикладные потребности в ее решении.

Теоретические:

приближение функций является одним из мощных средств исследования свойств самих функций. Существует раздел комплексного анализа - приближение функций комплексного переменного - изучающий вопросы приближенного представления функций комплексного переменного посредством аналитических функций специальных классов. В БЭС [17, с. 489] отмечено, что теория приближений тесно связана с другими разделами комплексного анализа (теорией конформных отображений, интегральными представлениями). Многие теоремы, формулируемые в терминах теории приближений, являются, по существу, глубокими результатами о свойствах аналитических функций и природе аналитичности.

Прикладные:

появляется потребность заменять сложные функции более простыми; такая задача возникает, например, когда необходимо вычислять значения функции.

- требуется заменить данную функцию приближающей функцией, принадлежащей заданному семейству функций, определяемому физическими условиями задачи.

- закон изменения исследуемой функции известен лишь с некоторой погрешностью, то на основании этих сведений можно определить функцию только приближенно; таково происхождение так называемых эмпирических формул непосредственно связанных с обработкой результатов наблюдений.

В энциклопедии [19, с. 415] описаны шаги, на которые распадается фактическое решение каждой задачи о приближении функций.

1) Выбор средства приближения, т. е. выбор того семейства функций, с помощью которого будет осуществляться приближение заданной функции. Заметим, что классическим средством приближения функций являются алгебраические многочлены фиксированной степени n, рациональные дроби , где многочлены соответственно степеней n и m, тригонометрические полиномы заданного порядка n. Вообще в качестве средств приближения обычно выбирают полиномы вида , где -заданные функции.

2) Выбор способа измерения уклонения от заданной функции до приближающей функции, т. е. выбор способа судить о том, когда приближающая функция близка к заданной. Способ измерения уклонения определяется заданием меры уклонения приближающей функции от данной , то есть числом, которое характеризует это уклонение. Выделяют следующие меры уклонения:

- Если важно, чтобы приближающая функция на целом отрезке [a, b] равномерно мало отличалась от заданной функции:

- Если важно, чтобы приближающая функция лишь в среднем мало отличалась от заданной, и допустимо, чтобы существовали весьма короткие отрезки, на которых отклонение достигает значительной величины:

- Если важны не сами значения функции , а требуется узнать приближенную величину интеграла от этой функции:

3) Выбор метода приближения, т. е. выбор такого правила, согласно которому из семейства приближающих функций выделяется одна приближающая функция. Заметим, что выделяют следующие методы:

- Интерполирование;

- Наилучшие методы приближения;

- Суммы Фурье;

- Частичные суммы рядов.

4) Фактическое построение этой приближающей функции. (Трудность построения приближающей функции зависит от выбранного метода приближения).

5) Оценка погрешности, возникающей от замены заданной функции приближающей ее функцией. (Алгебраические многочлены на любом конечном отрезке [a, b] и система тригонометрических функций относительно всех непрерывных периодических функций обладают свойством: погрешность приближения можно сделать сколь угодно малой, выбрав число параметров, от которых зависит семейство приближающих функций, достаточно большим).

Таким образом, важно развитие аппарата приближенных вычислений для прикладных и теоретических задач математики. В работе было выделено четыре направления, в которых не обойтись без приближенных вычислений. Из этих направлений для школьников недоступно приближение функции, так как здесь используется много новых понятий. Однако, приближенное решение уравнений для школьников вполне доступно, этот теоретический материал связан со школьной программой.