2. Анализ содержания школьных учебников

Чтобы определить роль темы “Приближенные вычисления” в школьной программе было проанализировано по три учебника для 5 и 8 классов, а также просмотрены учебники для других классов, чтобы найти применение приближенных вычислений. Применение было обнаружено в учебнике для 11 класса.

Учебник для пятого класса [18]

Тема “Округление чисел”.

Используются понятия округления числа до единиц и приближенное значение с избытком.

Новый материал вводится на примере задачи: Сколько банок краски надо купить для того, чтобы покрасить пол в квартире площадью 148 м2, если известно, что на 10 м2 пола нужна 1 банка краски? При помощи задачи автор хотел подчеркнуть необходимость округления. Но задача подобрана неудачно, так как с практической точки зрения в ней возможно округление лишь к большему числу, независимо от правил округления.

Представлено два способа округления и вводится понятие округления числа до единиц.

Способы вводятся на частном примере, понятия округления тоже. “Замену числа 14,8 приближенным значением 15 называют округлением этого числа до единиц” (про округление других чисел вообще ничего не сказано). Приведено два примера округления и выделен особый случай.

Особый случай - это 14,5 одинаково удаленное от 14 и от 15. Принято приближенное значение с избытком, равное 15. Ранее про приближенные значения с избытком ничего не сказано. Используется понятие, которое не было введено. Кроме того, при объяснении оперировали числами 14 и 15; нет ссылки, что можно округлять и до другого числа. В заключении приводится правило округления и примеры на его применение. В примерах же вводится знак “приближенно равно”.

В результате анализа было выявлено, что:

- про приближение с недостатком вообще ничего не сказано;

- про приближение с избытком говорится вскользь;

- округляются только десятичные дроби, про округление целых чисел ничего не сказано;

- используется слово “ближе”, но не сказано, что при округлении число должно быть как можно ближе к первоначальному числу;

- не различается округление и округление только в большую сторону.

Учебник для 5 класса [9]

Тема: ”Приближенные значения чисел. Округление чисел”

Используются понятия приближенного значения с недостатком, приближенного значения с избытком и округления числа до целых.

Автор предлагает два иллюстрированных примера. В первом примере предлагаются два решения, из их сравнения видна необходимость округления. Пример подобран удачно, соответствует представлению детей. Пример 1: Масса тыквы больше чем 3 кг, но меньше чем 4 кг. Если обозначить массу тыквы (в килограммах) буквой х, то 3<х<4. Второй пример подтверждает первый. Пример 2: Длина отрезка АВ заключена между 6 см и 7 см. Если длина отрезка х, то 6<х<7. При помощи примеров Виленкин Н. вводит понятие приближенного значения с избытком и приближенного значения с недостатком.

Далее дано общее определение. Используется слово ”ближе”: ”Если длина отрезка ближе к 6 см, чем к 7, то она приближенно равна 6”. Рассматривается несколько возможных случаев из первого примера. Показывается возможность округления разных чисел к одному и тому же числу. Формулируется правило округления с использованием слова “ближе”.

Отмечено, что числа можно округлять не только до целых, но и до других разрядов. Сформулировано правило, которое необходимо применять при округлении до некоторого разряда.

В заключении автор приводит два примера:

- на округление до десятых;

- на округление целого числа.

В результате анализа было выявлено, что:

- показано округление целых и десятичных чисел;

- задача дает представление об округлении и о возможности округления, как с недостатком, так и с избытком.

- предлагается два правила: для округления до целого числа и для округления до дробной части.

Учебник для 5 класса [22]

Предлагается две темы: “Округление натуральных чисел” и ”Округление десятичных дробей”.

“Округление натуральных чисел”

Вводятся понятия округления, приближенно равны и прикидка.

Вначале автор предлагает решенную задачу. Она отражает необходимость округления, но для учеников пятого класса сложновата. (Не многие дети сталкивались с переписью населения). Задача: В день переписи населения число жителей города равнялось 57328 человек. Но число людей в городе постоянно изменяется (приезд, отъезд, рождение, смерть). Значит, полученное число уже вскоре станет неверным. Поэтому можно сказать, что в городе живет приблизительно 57000 человек.

На примере задачи вводятся понятия округления числа до тысяч. Подчеркивается возможность округления до десятков, сотен и т. д.

Отмечается, что округленное число должно быть как можно ближе к первоначальному. Из этого вытекает правило округления.

Далее приводится два примера. Знак “приближенно равно” вводится после. Хорошо то, что автор объясняет, как этот знак произносится.

После применения округления целых чисел показано, где и как школьник может реально применить умение округлять.

“Округление десятичных дробей”

Никаких новых понятий не используется. Изложение материала опирается на округление целых чисел.

Приведен пример округления:

1) определяется, между какими числами заключено округляемое число;

2) определяется, к какому из них округляемое число ближе, следовательно, то и есть результат округления.

Подчеркивается возможность округления до любого разряда. И формулируется правило округления. Обращается внимание учеников на запись 32,0. Описано, что 0 отбрасывать нельзя, так как число округляли до десятых, а не до единиц (отмечено, что в этом есть различие).

Общий анализ учебников для 5 класса

В пятом классе тема “Приближенные вычисления” вводится двумя способами: один параграф, включающий в себя округление всех чисел и отдельно округление целых чисел и десятичных дробей.

При этом в учебниках тема называется по-разному: “Округление чисел”; “Приближенные значения чисел. Округление чисел”; “Округление натуральных чисел. Округление десятичных дробей”.

В разных учебниках содержится разная информация об округлении, но из всех можно выделить общее:

- округление числа до единиц;

- приближенное значение с избытком;

- приближенное значение с недостатком;

- приближенно равные числа;

- прикидка.

Учебник для 8 класса [4].

Тема: «Приближенные вычисления»

Тема представлена в четырех параграфах: «Приближенные значения величин. Погрешность приближения», «Оценка погрешности», «Округление чисел», «Относительная погрешность».

Все четыре параграфа имеют примерно одинаковую структуру. Так, сначала обосновывается необходимость введения понятия, затем, приводится задача с использованием этого понятия (к ней прилагается подробно описанное решение), далее результат обобщается в формулу (строится форма, которую можно использовать при решении других задач), приводится задача, показывающая как применять формулу, и приводятся упражнения на отработку.

В данном учебнике можно выделить следующие понятия:

- приближенное значение различных величин;

- абсолютная погрешность;

- оценка абсолютной погрешности;

- приближенное значение с недостатком;

- приближенное значение с избытком;

- точность измерения;

- округление чисел;

- относительная погрешность;

Остановимся на каждом параграфе подробнее:

§1. “Приближенные значения величин. Погрешность приближенности”

Вводится понятие - приближенное значение различных величин. Далее предлагаются примеры (в них включены точные и приближенные значения величин).

Но школьнику не сказано, что за примеры. В учебнике написано: “Рассмотрим несколько примеров” и далее перечисляются. Такая запись может запутать школьника, так как многие думают, что это примеры с приближенными значениями величин.

После примеров ответы, где значения вычислены точно, а где приближенно.

Далее идет задача и ее решение. На ее примере вводится понятие абсолютной погрешности приближения. После формула для вычисления абсолютной погрешности (обобщение задачи, замена цифр буквами).

Далее приводится задача и ее решение, требующее нахождения абсолютной погрешности с использованием формулы.

Упражнения на отработку включают следующие задания: в примерах указать, какие числа являются точными значениями величин, а какие приближенными; нахождение абсолютной погрешности приближения.

Но есть упражнения, не соответствующие теоретической части: нужно указать несколько приближенных значений. Но ведь не упоминалось, что приближенных значений может быть несколько - несоответствие.

§2. “Оценка погрешностей”

Учащихся знакомят, когда можно дать оценку абсолютной погрешности и что для этого нужно. Возникает 3 новых понятия:

- оценка абсолютной погрешности;

- приближения с избытком;

- приближения с недостатком;

Предлагается задача и ее решение (из решения видно, каким образом оценивать абсолютную погрешность). Предлагается способ записи равенства числа x числу a с точностью до h (но сначала эта запись вводится на частном примере). Про приближенные значения с недостатком и избытком сказано очень мало. В тексте эти термины не выделены, не представлены в виде определения, только на одном примере.

Большая часть параграфа посвящена обсуждению вопроса точности измерительных приборов. После сказано об использовании приближенных значений при замене обыкновенных дробей десятичными и приведен пример. Упражнения повторяют примеры из теоретической части (главным образом изменены только цифры).

§3. “Округление чисел”

Сказано, где округление используется и приведен пример. Обращено внимание на запись (xa). После предлагается задача с решением. В ответе получилось 3.125 (говорят, что на практике такой результат округляют до десятых. - утверждение не совсем верное, ведь можно округлить и до целых, но об этом не упоминается).

На примере рассматривается правило округления. В результате предполагают 2 случая: округление с избытком и округление с недостатком. Далее правило округления в общем виде и несколько примеров.

§4. “Относительная погрешность”

Необходимость относительной погрешности иллюстрируется при помощи двух примеров. Понятие относительной погрешности вводится в виде определения, далее записано в виде формулы. Также приведена задача на использование формулы.

Учебник для восьмого класса. [20].

Тема: «Приближенные значения действительных чисел».

Тема включает в себя следующие понятия:

- приближенное решение уравнения;

- приближенное значение числа по недостатку;

- приближенное значение числа по избытку;

- приближенное значение числа с точностью до …;

- округление;

- абсолютная погрешность;

- погрешность приближения.

Автор на примере нахождения точек пересечения графиков говорит о приближенном решении уравнения. Здесь же показывают запись (xa). Приводятся обоснования необходимости введения понятия приближенного значения действительного числа:

- для нахождения решения уравнения графически;

- действительное число - это бесконечная десятичная дробь, но использовать такую запись на практике неудобно.

На примере вводят понятия по недостатку и по избытку с заданной точностью. Описывается возможность приближения с разной точностью (с точностью до 0,0001; 0,01 и т.д.). Разбираются примеры нахождения приближенных значений по недостатку и по избытку с заданной точностью. Вводится понятие округления числа как обобщающее приближение по недостатку и по избытку. Понятия погрешности приближения (абсолютной погрешности) вводится в виде определения.

Важно, что автор ставит вопрос: какое приближение лучше? По недостатку или по избытку (заостряет внимание, чтобы избежать дальнейшей путаницы).

Далее правило округления, и примеры на применение правила.

Автор отмечает важную деталь: существуют понятие приближения с точностью до h (подчеркивает, что точность может быть любой).

Упражнения на отработку отражают теоретический материал:

- найти приближенные значения по недостатку и по избытку с заданной точностью;

- вычислить с заданной точностью;

- оценить погрешность приближенного равенства.

Учебник для восьмого класса. [1].

Тема: «Приближенные вычисления».

Тема представлена в двух параграфах: “Запись приближенных значений” и ”Действия над приближенными числами”.

Можно выделить только одно понятие: верные цифры. В данном учебнике понятия абсолютной и относительной погрешности не вводятся, предполагается, что они известны, автор оперирует ими при объяснении записи приближенных значений.

§1. “Запись приближенных значений”

Главным образом показана запись с заданной точностью. Далее вводится определение верной цифры и примеры с ними. Далее идут примеры на нахождение и оценку абсолютной и относительной погрешности.

§2. “Действия над приближенными числами”

Приведены примеры на округление при сложении, вычитании, умножении и делении.

Таким образом, материал этого учебника совершенно не соответствует материалу, предложенному другими авторами. Предполагается изучение абсолютной и относительной погрешности в седьмом классе. Содержание усложнено.

Общий анализ учебников для 8 класса

В каждом учебники название темы включает в себя фразу «Приближенные вычисления».

Но содержание тем в трех учебниках разное:

Учебник [1] полностью не соответствует другим учебникам. В учебнике [4] изучается погрешность приближения: абсолютная и относительная, оценка абсолютной погрешности и округление чисел. В учебнике [20] для изучения предложены приближенные значения по недостатку и по избытку, округление и абсолютная погрешность.

Из этих учебников можно выделить основное содержание:

- приближенное значение по недостатку и по избытку;

- округление;

- абсолютная погрешность;

- относительная погрешность.

Общая характеристика учебников для 5, 8 классов

Вообще в 5 и 8 классах тема «Приближенные вычисления» включает в себя понятия:

- Округление;

- приближенное значение по недостатку;

- приближенное значение по избытку;

- абсолютная погрешность;

- оценка абсолютной погрешности;

- относительная погрешность.

Но есть существенный недостаток. Автор каждого учебника включает те понятия, которые считает нужными. В итоге и в пятом и в 8 классах вводятся приближения по недостатку и по избытку. Нет разграничения на классы.

Анализируя содержание школьных учебников в учебнике для 11 класса [7] были найдены задания, при выполнении которых используются знания по приближенным вычислениям.

- найти приближенное значение, используя графики функций;

- на МК найти значения lg, log, тригонометрических функций и записать с точностью до h;

- вычислить приближенное значение формул;

- приближенные формулы;