2.1. Задачи на построение в школьных учебниках.

Решение задач на построение с помощью строго ограниченного набора чертёжных инструментов (в школе это циркуль и линейка без деланий)- традиционная математическая игра.

Как и всякая игра, она имеет свои строгие правила, включающие в себя следующие этапы:

1. анализ условий задачи, в ходе которого намечается план построения;

2. перечисление всех шагов построения;

3. доказательство того, что построенная фигура - искомая, то есть обладает всеми свойствами, о которых говорится в условии задачи;

4. выполнение исследований, т.е. выяснение того сколько решений имеет задача, различными решениями принято считать лишь неравные фигуры, удовлетворяющие условию задачи.

В сложившейся практике обучения существуют различные мнения относительно необходимости выполнения каждого из четырех этапов (анализ, построение, доказательство, исследование) решения задачи на построение, а также форм реализации этих этапов.

На данный момент в подавляющем большинстве школ курс планиметрии преподается либо по учебнику Л. С. Атанасяна «Геометрия7-9», либо по учебнику А.В. Погорелова «Геометрии7-9».

Как в учебнике Л. С. Атанасяна, так и в учебнике А. В. Погорелова учащимся сначала предлагается элементарные геометрические задачи на построение. К числу таких задач разные авторы относят разные задачи ([3], [11],). Наиболее удачным, на наш взгляд, является список элементарных задач на построение, представленный в учебнике [11] стр30.

Однако в школьных учебниках, как правило, нет полного описания реальных свойств чертёжных инструментов, которые используются для геометрических построений. Нет и чёткой формулировки задач на построение.

Как уже отмечалось, для построений в школьном курсе геометрии используется циркуль и линейка, и поэтому учащихся, полезно ознакомить с аксиомами циркуля и линейки([11], стр. 16). Кроме того, школьникам интересно будет узнать о возможности выполнения построения другими инструментами: одной линейкой, одним циркулем, двухсторонней линейкой.

Теория геометрических построений с помощью различных инструментов, отличных от принятых древними циркуля и линейки, разрабатывалась в XVII – XIX вв. Леонардо да Винчи рассматривал построение с помощью линейки и циркуля, датчанин Мор (1679) и итальянец Москерони (1797) изучали построение, выполняемые циркулем, а основоположники проективной геометрии Штейнер (1833) и Понселе (1822) исследовали геометрические построения, выполняемые линейкой при наличии начерченной окружности с отмеченным центром.

В XVIII веке швейцарец Ламберт рассматривал и некоторые задачи на построение на ограниченном куске плоскости. Вопрос о построениях «с недоступными элементами» неоднократно изучался и впоследствии, поскольку он представляет большой интерес для практики чертежника и геодезиста.