2.13 Методика введения и изучения рациональных чисел.
Большинство применений в математике связано с измерением величин, но для этих целей не достаточно мн-ва натуральных чисел.т.к. не всегда единица величины (1м, см) укладывается в целое число раз в измеряемой величине. Поэтому для решения задач измерения величины необходимо рассмотреть мн-во N чисел. 1) первичным расширением этого мн-ва является мн-во положительных рациональных чисел. 2) зетеммн-во положительных действительных чисел и далее введем мн-во всех действительных чисел.
Пон-е дроби. Пон-е положительного рационального числа. Рассмотрим задачу измерения длины отрезка. Пусть дан отрезок предположим что при измерении оказалось, что отрезок а состоит из 2х отрезков е в этом случае длина отрезка а не может быть выражена N числом. Разобьем отрезок е на несколько равных частей предположим на 3 и если 1/3 доля отрезка е укладывается в а например 8 то в этом случае говорят, что отрезок а соответствует пара чисел (8,2) такая запись 8/3 называется дробной. В общем случае отрезку а. будет соотвествовать дробь m/n т.е. отрезок а=m/n отрезка е. n – знаменатель.он показывает на сколько равных частей были разбит единичный отрезок. m- числитель. он показывает сколько частей равных n –ой части отрезка e состоит отрезок а. Дробь m/n называется правильной если ее числитель меньше знаменателя. и неправильной если числитель больше знаменателя или равен ему. 1/3 правильная. 3/3 неправильная.
Вернемся к задачи: Если 1/3 часть отрезка е уложилась в отрезке а восемь раз то очевидно что 1/6 часть отрезка е уложится в отрезке а 16 раз. 1/9 24 раза. Вообще говоря длина- одного и того же отрезка а при заданном единичном отрезке е может выражаться различными дробями при чем если длин выражена дробью m/n то она может быть выражена и дробью m*n/n*k, k€ (к пренадлежитмн-вунат. чисел) N. Две дроби выражающие длину одного и того же отрезка называются равными.
Как сравнивать дроби. Две дроби m/n и p/q будут равны – тогда и только тогда когда выполняется сл. равенство m/q и p/n. Пусть во мн. всех дробей введено отн-е «равенство» выясняем какимисв-вами обладает это отношения: 1)рефлексивности. каждая дробь равна себе. m/n= m/n =>mn=nm
2) симметричности (если одна дробь равна второй то вторая равна первой m/n=p/q =>p/q=m/n 3) транзитивности. m/n=p/q^ p/q=а/в =>m/n=а/в -
Мн-во равных между собой дробей называются положительным рациональным числом а каждая дробь принадлежащая этому классу есть запись (представление этого числа мн-во всех положительных рациональных чисел обозначается Q+.
Положительное рац. число можно записать любой дробью из данного класса чаще всего оно записывается несократимой дробью. В каждом классе эквивалентности существует единственная несократимая дробь.
Арифметические действия во множестве рациональных чисел, их св-ва.
1. Сложение. Пусть положительное рац. числовr1 представлено дробью m/n, а положительное рациональное число r2 – дробью p/n (r1= m/nr2 =p/n) то их суммой называется положительное рациональное число которое представляется дробью m+p/n
св-ва сложения: 1) коммуникативные r1+r2=r2+r1 2) ассоциативный (r1+r2)+r3=r1+(r2+r3)
Докажим 1е св-во. r1= m/n, r2=p/n, r1+r2 = m+p/n, т.к. m+p=p+mт.о. r1+r2=r2+r1. r2+r1=p+m/n. Мы воспользовались коммуникативным законом сложения N чисел.т.к. m и p натуральные числа. 2
2) Умножение. Если r1= m/n, аr2 =p/q то их произведениям называется положительное число которое представляет собою mp/nq
Св-вамн-ваQ+.
1.Во множестве Q+ нет наименьшего элемента. (умн-ваN – это 1) Предположим что существует наименьший элемент во мн-веQ+ пусть это r1 записан дробью m/n, r1=m/n. составим число r2>r2=m/2n покажем что r2<r1, то r1-r2=m/n-m/2n=2m-m/2n=m/2n>0=>r1>r2.
2. Во мн-веQ+ нет наибольшего элемента. Предположим что такое число существует пусть это r1=m/n, r2=2m/n, r1-r2=m/n-2m/n=-m/n<0 =>r1<r2, т.е. r2>r1
3. Мн-во Q+ упорядочено отн-е быть больше или быть меньше, т.к. эти отношения заданные во мн-веQ+ являя отношениями строгого порядка.
4. Мн-во Q+ плотно в себе.т.е. между 2мя Q+ можно найти др. Q+.
Доли и дроби.
1)конструируем доли. 2)ученик записывает долю при этом поясняет что под чертой записываем число равных частей на к-е делятся объект. Равные части а над чертой –сколько таких частей мы взяли в нашем случае Доля. 3)Сравнение долей в нач. курсе мат. начинается только с использованием граф. моделей. Использование таблицы полосок. 4)обуч-е решению задач с долями а)нахождение числа по его доли. Пр. в матке было 15м. проволкиизрасходовали 1/3 из этого мотка сколько из этой проволоки израсходовали. с пом. модели. б)нахождение доли по числу. Пр. 3метра приходятся на ¼ часть проволоки в матке. Сколько всего метров проволоки в мотке.
Дроби. Этапы изучения этой темы аналогичны тем что были в теме доли. Обычно в этой теме вводят термины «числитель» и «знаменатель».
- 1.1 Предмет, цели и задачи методики преподавания математики и ее связи с другими науками.
- 1.2.Математика как учебный предмет в школе.
- 1.4 Воспитание учащихся в процессе обучения математике. Развитие познавательного интереса школьников при обучении математике.
- 1.5. Проблема интеграции школьного курса математики и пути её решения.
- 1.6 Дидактические принципы обучения школьников математике.
- 1.7 Развивающее обучение. Принципы развивающего обучения.
- 1.8 Общие дидактические методы обучения школьников математике. Классификация методов обучения.
- 1.9.Методы научного познания в обучении математике
- 1.11 Определение понятий. Классификация понятий. Возможные ошибки в определении математических понятий школьниками и работа учителя по их предупреждению.
- 1.12 Определение понятий. Виды определений. Требования к определениям. Методика изучения математических понятий в школе.
- 1.13. Математическое понятие: термин, объем, содержание. Классификация понятий. Требования к классификации. Способы образования математических понятий.
- 1.15 Структура теорем. Виды теорем. Методика изучения теорем в школьном курсе математики.
- 1.16 Сущность понятия «доказательства». Методы доказательства теорем.
- 1.17 Общие методы решения математических задач. Классификация задач. Роль алгоритмов и эвристик в обучении решению задач. Организация обучения решению математических задач.
- 1.18 Задачи в школьном курсе математики и общая методика их решения. Роль и функции задач в математике. Основные этапы в решении задачи. Общие умения по решению задач.
- 1.19 Современные формы организации обучения математике. Урок как основная форма организации учебного процесса. Типы уроков. Основные требования к современному уроку.
- 1.21 Воспитание у учащихся потребности в доказательствах теорем. Методика обучения учащихся теоремам и их доказательствам. Подготовка учителя к доказательству теорем на уроке.
- 1.22 Дифференциация в обучении школьников математике в системе основного и дополнительного образования.
- 1.23 Развитие математических способностей и воспитание учащихся в процессе математического образования.
- 1.24 Анализ урока математики. Его роль в интенсификации учебного процесса.
- 9. Выводы и предложения.
- 1.25 История развития методики преподавания математики. Основные противоречия процесса обучения математике. Актуальные проблемы методики преподавания математики.
- 2.1 Методика изучения начал систематического школьного курса планиметрии.
- 2.2 Методика изучения подобных треугольников.
- 2.3 Методика изучения основных соотношений между элементами треугольника.
- 2.4 Методика изучения понятия равенства фигур. Доказательство первых теорем планиметрии. Признаки равенства треугольников.
- 2.5 Методика изучения четырехугольников и их свойства.
- 2.6 Методика изучения величин в школьном курсе планиметрии.
- 2.13 Методика введения и изучения рациональных чисел.
- 2.13 Методика введения и изучения иррациональных чисел.
- 2.20 Методика изучения функций. Понятие функций. Возможная методическая схема изучения функций в базовой школе. Методика изучения алгебраических функций.