II Явное задание линии
Теорема 1. Пусть АВ – это график непрерывно-дифференцируемой функции . Такая линия спрямляема и её длина вычисляется по формуле
(1)
Доказательство. Для определенности считаем, что точка А имеет координаты , а точкаВ – . Обозначим черезкоординаты точки, так что абсциссы этих точек дают разбиение отрезка[a,b]: . Длинаk-го звена ломанной
Как обычно обозначим , а к приращению функции применим теорему Лагранжа:
.
Следовательно,
.
Длина всей ломанной
представляет собой интегральную сумму для функции . Kроме того, условие равносильно. В силу условий теоремы функцияF(x) непрерывна, следовательно, интегрируема. Поэтому , т.е. длина линииАВ, есть не
что иное, как интеграл в правой части формулы (1). Теорема доказана.
Пример 1. Вычислить длину части полукубической параболы , расположенной внутри параболы.
Решение. Находим точки пересечения линий:
(корень – посторонний, ибо линии распо-
х ложены в правой полуплоскости). Уравнения
линий не изменяются при замене y на (– y). Это
означает симметрию относительно оси Ox.
Поэтому достаточно вычислить длину части ли-
линии, лежащей в 1-й четверти. Здесь полукуби-
ческая парабола – это график функции
.
Подготовительные вычисления
Итак, искомая длина:
.
Замечание 1. Если линия АВ задана явным уравнением то её длина выражается формулой
- Тема приложения определенного интеграла
- §1. Понятие площади плоской фигуры
- §2. Вычисление площадей плоских фигур
- I Декартова система координат
- II Полярная система координат
- §3. Вычисление длин линий
- I Определение понятия длины кривой
- II Явное задание линии
- III Параметрическое задание линии
- IV Полярные уравнения линии
- §4. Вычисление объёмов некоторых тел
- I Понятие объёма тела. Объём цилиндра
- II Вычисление объёма тела по его поперечным сечениям
- III Вычисление объёмов тел вращения
- §5. Вычисление площадей поверхностей вращения
- I Определения
- II Общая формула
- 1) 2) 3)
- III Частные случаи и примеры
- §6. Теоремы Паппа-Гульдина