III Частные случаи и примеры
1) Найти площадь сферического пояса, полученного вращением дуги окружности , , вокруг оси абсцисс.
Формула имеет вид
Проведём предварительные вычисления:
, .
Теперь вычисляем площадь:
Сферический пояс – это часть сферы, заключенная между двумя параллельными плоскостями. Полученный результат показывает, что площадь сферического пояса зависит лишь от расстояния между плоскостями, и не зависит от их положения относительно сферы.
2) Найти площадь поверхности, полученной вращением астроиды , вокруг оси .
Общая формула принимает вид
Астроида симметрична относительно оси вращения. Поэтому необходимо рассматривать лишь часть её, например, для . Предварительные вычисления:
, ,
Так как то, чтобы не «разбираться» с модулем, воспользуемся симметрией астроиды относительно оси , т.е. будем рассматривать:
3) Дуга кардиоиды ,, вращается вокруг полярной оси. Найти объём тела вращения.
Формула (1) в этом случае принимает вид:
Имеем для кардиоиды
Задачи для самостоятельного решения.
1. Найти площадь поверхности тора, полученного вращением окруж-ности , , вокруг оси .
2. Круговой сегмент, основание которого , высота, вращается вокруг основания. Найти площадь поверхности получающегося тела вращения.
3. Первая арка циклоиды ,,, вращается: а) вокруг оси; б) вокруг оси. Найти площади получающихся поверхностей вращения.
- Тема приложения определенного интеграла
- §1. Понятие площади плоской фигуры
- §2. Вычисление площадей плоских фигур
- I Декартова система координат
- II Полярная система координат
- §3. Вычисление длин линий
- I Определение понятия длины кривой
- II Явное задание линии
- III Параметрическое задание линии
- IV Полярные уравнения линии
- §4. Вычисление объёмов некоторых тел
- I Понятие объёма тела. Объём цилиндра
- II Вычисление объёма тела по его поперечным сечениям
- III Вычисление объёмов тел вращения
- §5. Вычисление площадей поверхностей вращения
- I Определения
- II Общая формула
- 1) 2) 3)
- III Частные случаи и примеры
- §6. Теоремы Паппа-Гульдина