2.6 Методика изучения величин в школьном курсе планиметрии.
Измерение геометрических величин (длины, площади, объема) изучается в школьном курсе дважды, на двух различных уровнях.
На первом, экспериментальном, уровне в начальных классах учатся измерять длины отрезков, площади простейших плоских фигур и объёмы простейших пространственных тел.На этом уровне не дается определений длины, площади и объема. Цель состоит в том, чтобы создать у учащихся ясные интуитивные понятия.
Изучение геом вел-н проходит через весь курс математики. В начальной школе уча-ся должны знать обозначения и названия единиц длины и площади. Уметь измерять длину отрезка и ломаной, строить отрезок данной длины, вычислять периметр и площадь прямоугольника. В 5 классе расширяются представления об измерении геометрических величин на примере вычисления S и V. Вводится понятие метрической системы мер в связи с изучением десятичных дробей, изучается градусная мера углов при которых за единицы измерения принимается угол в 1 градус. В 7 классе формулируются основные свойства измерения отрезков: каждый отрезок имеет определенную длину > 0, длина отрезка равна сумме длин частей на которые он разбивается в любой его точке. Аналогичные свойства формулируются для измерения углов: развернутый угол = 180 градусов. В 9 классе вводится понятие площади следующим определением: площадь это положительная величина обладающая следующими свойствами: 1. равные фигуры имеют равные площади. 2. если фигуры разбиваются на части, являющиеся простыми фигурами, то площадь этой фигуры =сумме площадей ее частей (простой называют фигуру, разбивающуюся на конечное число треугольников). 3. площадь квадрата со стороной =ед.изм. =1ед. далее дается определение площади произвольной фигуры не являющейся простой: фигура имеет площадь, если существуют содержащие ее простые фигуры и содержащиеся в ней простые фигуры с площадями как угодно мало отличающимися от данной. Это определение применяется при нахождении площади фигуры. В 11 классе вычисляются площади поверхностей тел. Аналогично вводится понятие объема. При выводе формул объема широко применяются приближенные вычисления и интуитивные представления учащихся о предельном переходе. Вывод формулы шара и его частей проводится с использованием общей формулы для объемов форм вращения. Это целесообразно связать с интегралами. При измерении геом величин в школьном курсе можно выделить три метода. 1. непосредственное измерение (линейки, транспортиры палетки). 2. косвенное измерение (использование формул). 3. использование интегрального исчисления.
2.7 Обобщение понятия степени в школьном курсе математики.
2.8 Исторические и логические последовательности изучения числовых множеств. Общий принцип расширения числовых множеств. Общая схема изучения новых чисел.
2.9 Методика повторения и дальнейшего изучения натуральных чисел. Изучение обыкновенных и десятичных дробей.
Методика изучения тригонометрических функций в курсе планиметрии.
2.11 Методика изучения показательной и логарифмической функций в средней школе.
Ознакомление учащихся с показательной и логарифмической функциями начиная с изучения свойств степеней и логарифмов.
Курс алгебры знакомит учащихся с понятием степени с рациональным показателем. Таким образом для любого основания степени (где , ) можно построить функцию: , , область определения которой – множество действительных чисел. Необходимо ввести определение степени с иррациональным показателем. Используемое свойство степени с основным, например, большим единицы (возрастании), рациональное приближение иррационального числа α: r1< α< r2. Исходя из графического изображения зависимости показателя степени и значения степени, показывается, что найдется такое значение y, которое будет наибольшим среди всех ar1 и наименьшим среди всех ar2 , которое можно считать значением aα.
Затем формируется определение показательной функции: функция, заданная формулой y=ax( , ), называется показательной функцией с основанием a, и формулируемые основные свойства: D(ax)=R; E(ax)=RТ; ax возрастает при a>1 и ax убывает при 0<a<1; напоминаются основные свойства степеней. Т.о. показательная функция есть систематизация, обобщение и расширение знаний учащихся о свойствах степени.
Логарифмическая функция – новый математический объект для учащихся. К понятию логарифма учащихся подводят в процессе решения показательного уравнения ax=b в том случае, если b нельзя представить в виде степени с основанием a. Наше уравнение в случае b>0 имеет единственный корень, который называют логарифмом b по основанию a и обозначают logab, т.е. alogab=b. Одновременно с введением нового понятия учащиеся знакомятся с основным Логарифмическим тождеством. При работе с логарифмами применяются следующие их свойства, вытекающие из свойств показательной функции:
При любом ( ) и любых положительных x и y, выполнены равенства:
1. loga1=0
2. logaa=1
3. logaxy= logax+ logay
4. logax/y= logax- logay
5. logaxp= plogax
Изучение логарифмической функции начинается с выделения определения: функцию, заданную формулой называют логарифмической функцией с основанием . Основные свойства выводится из свойств показательной функции:
1. ,
2. ,
3. Логарифмическая функция на всей области определения возрастает (при a>1) или убывает (при 0<a<1).
Покажем, что при a>1 возрастает. Пусть и , надо доказать, что: . Допустим противное, т.е. что . Т.к. показательная функция при a>1 возрастает, то из неравенства следует: , что противоречит выбору . Следовательно: и функция при a>1 – возрастает.
Т.к. при a>1 функция возрастает, то логарифмическая функция положительна при x>1 и отрицательна для 0<x<1 (для основания 0<a<1 – наоборот). На основании рассмотренных свойств строится график этой функции.
- 1.1 Предмет, цели и задачи методики преподавания математики и ее связи с другими науками.
- 1.2.Математика как учебный предмет в школе.
- 1.4 Воспитание учащихся в процессе обучения математике. Развитие познавательного интереса школьников при обучении математике.
- 1.5. Проблема интеграции школьного курса математики и пути её решения.
- 1.6 Дидактические принципы обучения школьников математике.
- 1.7 Развивающее обучение. Принципы развивающего обучения.
- 1.8 Общие дидактические методы обучения школьников математике. Классификация методов обучения.
- 1.9.Методы научного познания в обучении математике
- 1.11 Определение понятий. Классификация понятий. Возможные ошибки в определении математических понятий школьниками и работа учителя по их предупреждению.
- 1.12 Определение понятий. Виды определений. Требования к определениям. Методика изучения математических понятий в школе.
- 1.13. Математическое понятие: термин, объем, содержание. Классификация понятий. Требования к классификации. Способы образования математических понятий.
- 1.15 Структура теорем. Виды теорем. Методика изучения теорем в школьном курсе математики.
- 1.16 Сущность понятия «доказательства». Методы доказательства теорем.
- 1.17 Общие методы решения математических задач. Классификация задач. Роль алгоритмов и эвристик в обучении решению задач. Организация обучения решению математических задач.
- 1.18 Задачи в школьном курсе математики и общая методика их решения. Роль и функции задач в математике. Основные этапы в решении задачи. Общие умения по решению задач.
- 1.19 Современные формы организации обучения математике. Урок как основная форма организации учебного процесса. Типы уроков. Основные требования к современному уроку.
- 1.21 Воспитание у учащихся потребности в доказательствах теорем. Методика обучения учащихся теоремам и их доказательствам. Подготовка учителя к доказательству теорем на уроке.
- 1.22 Дифференциация в обучении школьников математике в системе основного и дополнительного образования.
- 1.23 Развитие математических способностей и воспитание учащихся в процессе математического образования.
- 1.24 Анализ урока математики. Его роль в интенсификации учебного процесса.
- 9. Выводы и предложения.
- 1.25 История развития методики преподавания математики. Основные противоречия процесса обучения математике. Актуальные проблемы методики преподавания математики.
- 2.1 Методика изучения начал систематического школьного курса планиметрии.
- 2.2 Методика изучения подобных треугольников.
- 2.3 Методика изучения основных соотношений между элементами треугольника.
- 2.4 Методика изучения понятия равенства фигур. Доказательство первых теорем планиметрии. Признаки равенства треугольников.
- 2.5 Методика изучения четырехугольников и их свойства.
- 2.6 Методика изучения величин в школьном курсе планиметрии.
- 2.13 Методика введения и изучения рациональных чисел.
- 2.13 Методика введения и изучения иррациональных чисел.
- 2.20 Методика изучения функций. Понятие функций. Возможная методическая схема изучения функций в базовой школе. Методика изучения алгебраических функций.