II Явное задание линии

Теорема 1. Пусть АВ – это график непрерывно-дифференцируемой функции . Такая линия спрямляема и её длина вычисляется по формуле

(1)

Доказательство. Для определенности считаем, что точка А имеет координаты , а точкаВ – . Обозначим черезкоординаты точки, так что абсциссы этих точек дают разбиение отрезка[a,b]: . Длинаk-го звена ломанной

Как обычно обозначим , а к приращению функции применим теорему Лагранжа:

.

Следовательно,

.

Длина всей ломанной

представляет собой интегральную сумму для функции . Kроме того, условие равносильно. В силу условий теоремы функцияF(x) непрерывна, следовательно, интегрируема. Поэтому , т.е. длина линииАВ, есть не

что иное, как интеграл в правой части формулы (1). Теорема доказана.

Пример 1. Вычислить длину части полукубической параболы , расположенной внутри параболы.

Решение. Находим точки пересечения линий:

(корень – посторонний, ибо линии распо-

х ложены в правой полуплоскости). Уравнения

линий не изменяются при замене y на (– y). Это

означает симметрию относительно оси Ox.

Поэтому достаточно вычислить длину части ли-

линии, лежащей в 1-й четверти. Здесь полукуби-

ческая парабола – это график функции

.

Подготовительные вычисления

Итак, искомая длина:

.

Замечание 1. Если линия АВ задана явным уравнением то её длина выражается формулой