II Полярная система координат
В полярной системе координат базовой фигурой является не криволинейная трапеция, а криволинейный сектор.
Определение. Криволинейным сектором называют плоскую фигуру, ограниченную непрерывной линией и двумя лучамии, где.
Теорема 4. Криволинейный сектор является квадрируемой фигурой. Его площадь определяется формулой:
(4)
Доказательство. Разобьём отрезок точкамии для каждого частичного отрезкапостроим круговые секторы, радиусы которых равны наименьшемуи наибольшемузначениям функциина.
При этом и, где(в силу непрерывности функции). Получим две веерообразные фигуры, первая из которых вписана в криволинейный сектор, а вторая описана. Площади этих фигур равны соответственно:
; .
В этих суммах нетрудно увидеть интегральные суммы для интегрируемой функции . Следовательно, они имеют общий предел, равный интегралу из формулы (4), что и доказывает эту формулу.
Пример 6. Вычислить площадь фигуры ограниченной полярной осью и первым витком спирали Архимеда
Решение. Первый виток спирали соответствует изменению углаот 0 до:
Теорема 5. Если фигура ограничена двумя непрерывными линиями ии двумя лучами, причёми, то она является квадрируемой и её площадь вычисляется по формуле:
(5)
Доказательство. Описанную в теореме фигуру можно представлять как разность двух криволинейных секторов. Записав площадь каждого из них по формуле (4), а затем, используя свойство линейности определён-ного интеграла, получим требуемую формулу (5).
Пример 7. Вычислить площадь части фигуры, ограниченной линией , лежащей вне окружности.
Решение. Лемниската (как и окружность) симметрична относительно осей координат, т.к. пере-менные ивходят в урав-нение лишь в чётных степенях. Достаточно рассматривать линии и фигуру, которую они ограничивают, только в пер-вой четверти. Перейдём в полярную систему координат и получим полярные уравнения линий, использую известные формулы, связывающие декартовые и полярные координаты:
Уравнение лемнискаты:
Окончательно, – полярное уравнение лемнискаты. Уравне-ние окружности ,. Лемниската существует для тех, для которых. В первой четверти – это сектор.
Найдем точки пересечения линий, для этого приравниваем правые части уравнений: В первой четверти это уравнение имеет единственный корень. Далее, максимальное удаление точки от полюса равноа (при ). Точки же окружности находятся ближе к полюсу. Итак, окончательно часть фигуры в первой четверти ограничена лучамии, и линиями(ближняя к полюсу граница) и(дальняя граница). Искомая площадь:
Задачи (для самостоятельного решения).
1. Найти площадь фигуры, которая ограничена замкнутой линией
.
2. Найти прямую y=kx, которая разбивает параболический сегмент, ограни-
ченный линиями и, на две равновеликие части.
3. Найти площадь фигуры, ограниченной петлей линии .
4. Какую часть площади круга составляет площадьn-лепестковой
розы ?
5.* Найти площадь фигуры, ограниченной замкнутой линией
- Тема приложения определенного интеграла
- §1. Понятие площади плоской фигуры
- §2. Вычисление площадей плоских фигур
- I Декартова система координат
- II Полярная система координат
- §3. Вычисление длин линий
- I Определение понятия длины кривой
- II Явное задание линии
- III Параметрическое задание линии
- IV Полярные уравнения линии
- §4. Вычисление объёмов некоторых тел
- I Понятие объёма тела. Объём цилиндра
- II Вычисление объёма тела по его поперечным сечениям
- III Вычисление объёмов тел вращения
- §5. Вычисление площадей поверхностей вращения
- I Определения
- II Общая формула
- 1) 2) 3)
- III Частные случаи и примеры
- §6. Теоремы Паппа-Гульдина