3.3. Теорема Дезарга и ее модификации

Замечания к проведению занятий по изучению теоремы Дезарга.

Теоремы Дезарга 1-5 и обратные к ним могут быть сформулированы в виде задач. Тогда эти задачи представляют свой материал для изучения таких тем школьного курса как «Векторы»(теорема 1), «Равенство треугольников», «Теорема о пропорциональных отрезках», «Параллелограмм», «Подобные треугольники», «Гомотетия», «Теорема Менелая».

Теорема Дезарга (прямая и обратная) является одной из центральных теорем проективной геометрии, описывающей отношение «принадлежности» между точками и прямыми. Она позволяет легко решать задачи на доказательство принадлежности трех точек одной прямой, принадлежности трех прямых одному пучку, задачи на построение.

Чтобы сформулировать теорему Дезарга на проективной плоскости, необходимо сформулировать определение фигуры, называемой трехвершинником.

Определение: трехвершинник- это фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой, и прямых, их соединяющих. При этом точки называются вершинами, а прямые- сторонами трехвершинника ( рис.1).

А

В С

рис. 1.

На проективной плоскости теорема Дезарга формулируется для двух трехвершинников ( фигур, состоящих из трех точек и прямых, их соединяющих) следующим образом: если прямые, соединяющие соответственные вершины двух трехвершинников, пересекаются в одной точке, то соответствующие стороны пересекаются в трех точках, лежащих на одной прямой. ( рис.2)

S

В

А

С

s U V W рис.2

А₁ С₁

В₁

В этом случае ∆ АВС и ∆А₁В₁С₁ называются перспективными, точка S- центром перспективы, прямая s- осью перспективы.

На евклидовой плоскости не всякие две прямые пересекаются, а принадлежность прямых пучку может означать параллельность этих прямых. Поэтому теорему Дезарга на евклидовой плоскости в виде одного предложения сформулировать не удается. Вместо одного предложения возникает пять; они соответствуют ситуациям, когда либо прямые, соединяющие вершины треугольников параллельны, либо стороны треугольников параллельны.

В данном параграфе рассматриваются все модификации теоремы Дезарга на евклидовой плоскости и обратные к ним теоремы. ( доказательства не приводятся ).

Теорема1. Если прямые, соединяющие соответственные вершины треугольников ∆ АВС и ∆А₁В₁С₁, пересекаются в одной точке S, и прямые, содержащие соответствующие стороны треугольников, пересекаются в трех точках U,V,W, то эти три точки лежат на одной прямой ( рис.2).

Справедлива и обратная теорема.

Теорема 2. Если прямые, соединяющие соответственные вершины треугольников ∆ АВС и ∆А₁В₁С₁, параллельны, а прямые, проходящие через соответственные стороны АВ и А₁В₁, ВС и В₁С₁, СА и С₁А₁, пересекаются в трех точках, то точки их пересечения U, V, W лежат на одной прямой. (рис.3)

Справедлива и обратная теорема.

В

А

С

U V W рис3.

C₁

А₁

В₁

Теорема 3. Если прямые, соединяющие соответственные вершины треугольников ∆ АВС и ∆А₁В₁С₁, пересекаются в одной точке S, и две прямые, содержащие соответствующие стороны треугольников, пересекаются, а третья пара соответственных сторон параллельна, то прямая, соединяющая точки пересечения первых двух пар сторон, параллельна сторонам треугольников (рис.4)

Справедлива и обратная теорема.

S

В

А С

V рис.4

U

А₁ С₁

В ₁

Теорема 4. Если прямые, соединяющие соответственные вершины треугольников ∆ АВС и ∆А₁В₁С₁, пересекаются в одной точке S, и две пары соответственных сторон этих треугольников параллельны, то и третья пара сторон лежит на параллельных прямых (рис.5).

S

В

А С

В₁ рис.5

А₁

С₁

Справедлива и обратная теорема.

Теорема 5. Если прямые, соединяющие соответственные вершины треугольников ∆ АВС и ∆А₁В₁С₁, параллельны, а также параллельны две пары соответственных их сторон, то и третья пара сторон лежит на параллельных прямых (рис.6).

В

А

С

В₁

А₁ рис.6

С₁