III Частные случаи и примеры

1) Найти площадь сферического пояса, полученного вращением дуги окружности , , вокруг оси абсцисс.

Формула имеет вид

Проведём предварительные вычисления:

, .

Теперь вычисляем площадь:

Сферический пояс – это часть сферы, заключенная между двумя параллельными плоскостями. Полученный результат показывает, что площадь сферического пояса зависит лишь от расстояния между плоскостями, и не зависит от их положения относительно сферы.

2) Найти площадь поверхности, полученной вращением астроиды , вокруг оси .

Общая формула принимает вид

Астроида симметрична относительно оси вращения. Поэтому необходимо рассматривать лишь часть её, например, для . Предварительные вычисления:

, ,

Так как то, чтобы не «разбираться» с модулем, воспользуемся симметрией астроиды относительно оси , т.е. будем рассматривать:

3) Дуга кардиоиды ,, вращается вокруг полярной оси. Найти объём тела вращения.

Формула (1) в этом случае принимает вид:

Имеем для кардиоиды

Задачи для самостоятельного решения.

1. Найти площадь поверхности тора, полученного вращением окруж-ности , , вокруг оси .

2. Круговой сегмент, основание которого , высота, вращается вокруг основания. Найти площадь поверхности получающегося тела вращения.

3. Первая арка циклоиды ,,, вращается: а) вокруг оси; б) вокруг оси. Найти площади получающихся поверхностей вращения.