1.1 Формы объектов в системе координат.

Ранее мы говорили о величинах и измерениях. Теперь мы обратим внимание на форму и внешний вид растений. Пригодится ли нам и здесь математика и физика? Форма и целесообразность в природе связаны с третьим понятием — приспособленностью.

В математике возникло новое направление: теория оптимальных процессов. Это довольно сложная область математики, первоначально разработанная лишь для простейших процессов. В наш век, когда в экономике и технике расчеты выполняются с помощью электронных вычислительных машин, эта теория приобрела большое значение [2].

Обратимся к технике. Предположим, инженер проектирует мост, который должен быть надежным, легким, дешевым и пропускать в единицу времени определенное количество машин и пешеходов. Эти требования противоречат друг другу. Самый надежный мост всегда тяжелый и дорогой, а самый дешевый — легкий и ненадежный. Оптимизация заключается в том, чтобы найти такую конструкцию моста, которая, обеспечивая достаточно большую надежность, требовала бы минимум затрат.

У природы возможности несравненно богаче. Она находит оптимальное решение не путем предварительного расчета, а через изменение и селекцию, т.е. отбор.

Математикам известна такая универсальная формула, или, точнее, функция, которая позволяет математически выразить почти любую кривую, — это так называемый полином. Он записывается в виде ряда, который можно продолжать сколь угодно долго, но математик ограничивается лишь действительно необходимым числом членов, ибо с каждым новым членом полином все усложняется. Уравнение этого ряда выглядит так:

y=a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+a₄x⁴+a₅x⁵+a₆x⁶+ ...

Оно показывает, как изменяется величина y в зависимости от изменения независимо меняющейся величины x. Обычно говорят, что y есть функция от x. Если значения x и y откладывать по осям системы координат, то мы получим кривую. Буквы a₀, a₁, a₂, a₃, a₄, a₅, a₆... обозначают константы. Они могут быть положительными и отрицательными, большими, малыми и даже равными нулю. Меняя значения этих констант, математик "изгибает" кривую до тех пор, пока она не примет желаемую форму [3]. Можно попытаться подобрать полином, описывающий, например, форму листа (Рис. 1).

Рис. 1 Описание формы древесного листа с помощью уравнений.

Для описания простых кривых достаточно ограничиться малым количеством членов такого полинома. Сколько нужно сделать отдельных измерений, чтобы получить изображенный на рисунке полином четвертой степени, т.е. полином, содержащий член a₄x⁴? Чтобы записать точную формулу, требуется только пять значений, а именно константы a₀, a₁, a₂, a₃ и a₄. Собственно говоря, можно даже обойтись без первого значения, т.е. положить, что a₀ = 0, тогда ось симметрии листа будет скользить по оси абсцисс. Мы видим, что с каждым новым членом наш полином описывает форму листа несколько точнее. Таким образом, с помощью полинома мы можем описать формы любых объектов независимо от их размеров, а также сравнивать их между собой.

Если мы хотим получить замкнутую кривую, т.е. представить лист целиком, то гораздо удобнее записать его форму в так называемых полярных координатах как функцию длины и угла вектора, поворачивающегося вокруг координатной оси.