Временные зависимости

Лабораторная работа №2

_{Особая точка: X1 = 7 ; X2 = 0}

Неподвижная точка является неустойчивым узлом

Рекуррентное соотношение для численного решения:

;

Временная зависимость для х₁

Временная зависимость для х₂

Лабораторная работа №3

_{Особая точка: X1 = -2 ; X2 = -2}

Неподвижная точка является устойчивым фокусом

Рекуррентное соотношение для численного решения:

Временные зависимости для х₁ и х₂

Лабораторная работа №4

_{Особая точка: X1 = 0 ; X2 = -3}

Неподвижная точка является седлом

Рекуррентное соотношение для численного решения:

Временные зависимости для х₁ и х₂

Лабораторная работа №5

_{Особая точка: X1 = 4 ; X2 = 4}

Неподвижная точка является центром

Рекуррентное соотношение для численного решения:

Временные зависимости для х₁ и х₂

Лабораторная работа №6

_{Особая точка: X1 = 6 ; X2 = -0.5}

Неподвижная точка является устойчивым фокусом

Рекуррентное соотношение для численного решения:

Временные зависимости для х ₁ и х₂

Лабораторная работа № 7

Бифуркация седло-узел

Неподвижные точки (положения равновесия)  < 0

 = -1 :  = -4 :

Линеаризируем систему в окрестности состояний равновесия

1 положение равновесия 2 положение равновесия

а₁₁ = -

а₁₂ = 0 0

а₂₁ = 0 0

а₂₂ = -1 -1

Собственные числа матрицы А равны:

1 положение равновесия 2 положение равновесия

Следовательно, 1 положение равновесия – уст.узел , 2 положение равновесия - седло.

При  = 0 собственные числа равны ₁ = 0 и ₂ = -1 ;

При  < 0 неподвижных точек нет.

Видим, что при значении параметра , равно нулю, одно из собственных чисел матрицы А равняется нулю. При  < 0 система имеет два положения равновесия, одно их которых есть седло, а другое - узел. Эти точки при   0 приближаются друг к другу и при  = 0 сливаются вместе в так называемое седло - узел.

Признак бифуркации седло-узел:

равенство нулю одного из собственных чисел при бифуркационном значении управляющего параметра.

Рекуррентное соотношение для числового расчёта:

 = -4

 = -0.25 :

 = 0 :