Лабораторная работа № 8 Бифуркация Андронова-Хопфа

Система имеет неподвижную точку (положение равновесия) = 0,= 0 при любых значениях параметра. Исследуем ее на устойчивость при различных значениях параметра .

Матрица А линеаризованной системы в точке = 0,=0 имеет вид

,

и она имеет комплексные собственные числа

Следовательно, при  < 0 состояние равновесия = 0 ,= 0 представляет собой устойчивый фокус, а при > 0 - неустойчивый фокус. При  = 0 собственные числа располагаются на мнимой оси, и об устойчивости состояния равновесия нельзя судить по линеаризованной системе.

Для исследования фазового портрета системы удобно преобразовать ее к полярным координатам, в которых система выглядит следующим образом

(*)

Из второго уравнения следует, что переменная  играет роль времени (t+c) и что наиболее существенная информация о структуре траекторий содержится в уравнении с переменной r. Определим положения равновесия уравнения (*) из уравнения

, r 0

Одно положение равновесия r = 0 существует при любых значениях параметра . При   0 других положений равновесия нет. При  > 0 уравнение имеет еще одно состояние равновесия

,

которое является аттрактором.

Фазовый портрет уравнения