1.1. Методика организации уроков математики в начальной школе

Преподавание математики в начальной школе начинается с 1 класса. Главная цель, общая для всех программ по математике для начальной школы, состоит в том, чтобы дать младшим школьникам базовое образование по математике в объеме, определенном в образовательном стандарте, в соответствии с которым изучение этого предмета в начальной школе было бы направлено на достижение следующих целей:

1) развитие образного и логического мышления, воображения, математической речи, формирование предметных умений и навыков, необходимых для успешного решения учебных и практических задач и продолжения образования;

2) освоение основ математических знаний, формирование первоначальных представлений о математике как части общечеловеческой культуры;

3) воспитание интереса к математике [13, 10].

В соответствии с положениями образовательного стандарта и обозначенными выше целями разработаны и реализуются в практике работы школ программы по математике для начальной школы. В первую очередь отметим, что существуют три педагогические системы для начальной школы – система Л.В. Занкова (развивающая), системы развивающего обучения Д.Б. Эльконина – В.В. Давыдова и традиционная (Приказ Минобрнауки РФ от 21.10.2004г. № 93). В рамках каждой из систем имеется программа по математике.

Остановимся более подробно на характеристике некоторых из этих программ по математике, функционирующих в рамках образовательных систем.

1. Дидактическая система развивающего обучения Л.В. Занкова введена как вариативная государственная система начального образования с 1995-1996 учебного года (наравне с традиционной системой и системой развивающего обучения Д.Б. Эльконина – В.В. Давыдова).

Математика в системе Л.В. Занкова представлена в двух линиях: 1 класс – авторы Аргинская И.И., Бененсон Е.П., Итина Л.С.; 2-4 классы – Аргинская И.И., Ивановская Е.И., Кормишина С.Н. (2-4 класс).

Главными задачами изучения математики в системе являются:

• достижение оптимального результата в общем развитии каждого школьника – его ума, воли, чувств, нравственной сферы;

• формирование представления о математике как науке, способствующей познанию окружающего мира через обобщение и идеализацию реально происходящих в нем явлений;

• овладение знаниями, умениями и навыками, предусмотренными программой.

Л.В. Занков уделял математике большое внимание и говорил, что учебник нацелен не только на приобретение школьником знаний и навыков по математике, но на достижение возможно более высоких результатов в общем развитии детей. В процессе выполнения соответствующих заданий дети производят действия, операции, упражняются в сложении, вычитании, умножении и делении, отрабатывая вычислительные навыки, но приобретение таких навыков происходит принципиально другим путем, чем по традиционной методике. В частности, по методике И.И. Аргинской выполнение одного задания требует интенсивной умственной деятельности, в процессе которой осуществляется работа мысли, и возвращение к тому, что уже было изучено.

Большое внимание уделяется устному счету, который способствует формированию приемов мыслительной деятельности, особенно гибкости мышления, быстроте реакций. В системе Л.В. Занкова формирование вычислительных навыков происходит не путем нагромождения однородных повторений, а в теснейшей связи с работой мысли ребенка, с усвоением теоретических знаний. В учебнике И.И. Аргинской, например, раскрываются перед школьниками процессы анализа, сопоставления, рассуждения, которые дают возможность постигнуть математическое выражение. Соответственно можно сделать такое заключение, что форма изложения материала в учебнике математики по системе Л. В. Занкова приближается к беседе с учеником [30, 87].

2. Система развивающего обучения Д.Б. Эльконина – В.В.Давыдова с 1995-1996 учебного года признана государственной системой начального обучения (наравне с традиционной системой и системой развивающего обучения Л.В.Занкова).

Математика также представлена двумя линиями: одна линия – авторы Давыдов В.В., Горбов С.Ф., Микулина Г.Г., О.В. Савельева, вторая – автор Александрова Э.И.

Программа ориентирована на формирование системы научных понятий, учебной самостоятельности и инициативности, развитие у ребенка умения необычно и глубоко мыслить. Система изучения математики достаточно сложная. Система Эльконина – Давыдова развивает у детей самостоятельность, инициативность, логическое мышление, умение аргументировано рассуждать и излагать свою точку зрения, нетрадиционно мыслить и находить нестандартные решения, повышает самооценку.

Система Эльконина – Давыдова направлена на развитие теоретического, понятийного мышления у младшего школьника. Цель развивающего обучения в рамках предмета «Математика» – формирование у детей основ теоретического мышления (произвольности психических процессов, анализа, планирования, рефлексии), как способности человека понимать суть явлений по их внешней форме и действовать в соответствии с этой сутью. При этом, теоретическое мышление определяется как понятийное мышление, мышление, обоснованное на математических понятиях, терминах, на математическом языке, на математическом моделировании.

Выполнение цели обучения достигается в условиях особой организации учебной деятельности школьников. Содержание учебной деятельности развертывается в теоретической форме – от общего к частному, от абстрактного к конкретному. При этом знания не даются в готовом виде (в виде образцов, правил, алгоритмов), а добываются учащимися при решении учебной задачи, путем выполнения учебных действий и образовательная программа по математике строится на основе положения теории учебной деятельности.

Изучение математики начинается с числа как отношения величины к его мерке, это понятие как ядро, как фундамент содержания школьного курса математики является основой для развития личности учащегося. При освоении понятия числа дети осваивают основы алгебры, геометрии и арифметики, во всеобщей взаимосвязи этих трех языков. Определение отношений между величинами составляет предметность понятия числа. Усвоение этой предметности есть основы теоретического мышления [30, 122].

3. Образовательная система «Школа 2100» – это одна из программ развития общего среднего образования, направленная на развитие и совершенствование содержания образования и на обеспечение его программно-методическими и учебными материалами. Научные руководители программы – А.А. Леонтьев, Д.И. Фельдштейн.

Программа построена с учетом принципа развития, предполагающего целостное развитие личности младшего школьника и формирование готовности к дальнейшему развитию.

Программа «Математика» предназначена для четырехлетней начальной школы, ее авторы Т.Е. Демидова, С.А. Козлова, А.Г. Рубин, А.П. Тонких.

В рамках программы по математике осуществляется личностно-ориентированное, развивающее, вариативное, непрерывное образование для массовой школы (дошкольная подготовка, начальная школа, основная старшая школа). Программа рассчитана на максимальное раскрытие личностных качеств ученика и учителя в процессе совместной деятельности. Программа «Школа 2100» эффективна для детей, у которых уровень обученности зависит от формирования всех психических процессов, включающих уровень интеллекта выше среднего, большой объём памяти, высокую степень формирования произвольного внимания, его концентрацию.

Учебно-методический комплект «Школы 2100» по математике (автор Петерсон Л.Г.) рассчитан на сильного ученика с развитым теоретическим логическим и вариативным мышлением, включающим моделирование с помощью специальных знаков – символических средств; умеющим абстрагироваться, с высокой степенью концентрации внимания, быстротой выполнения математических операций и работы в целом. Не смотря на то, что учебный материал дифференцирован по степени сложности, основная цель программы состоит в формировании у учеников различных способов деятельности в условиях взаимодействия учителя и ученика, направленного на решение единой задачи [20, 16].

4. Программа «Школа России» представляет собой учебно-методический комплект для 4-летней начальной школы, научный руководитель комплекта – А.А. Плешаков. Как единый, целостный комплект «Школа России» работает с 2001 г., это один из самых известных и востребованных учебно-методических комплектов для обучения в начальной школе. Программа по математике разработана Моро М.И. и др. Идея программы в целом и программы по математике – «Школа России» создается в России и для России; школа России должна стать школой духовно-нравственного развития, именно такая школа будет достойна России.

Цели обучения:

1) создание условий для развития личности младшего школьника, реализации его способностей, поддержка индивидуальности;

2) освоение младшим школьником системы знаний, общеучебных и предметных умений и навыков;

3) формирование у ребенка интереса к учению и умения учиться.

Основная особенность методов и форм в обучении математике – предпочтение отдается проблемно-поисковой и творческой деятельности младших школьников, что предусматривает создание проблемных ситуаций, выдвижение предположений, поиск доказательств, формулирование выводов, сопоставление результатов с эталоном. При таком подходе возникает естественная мотивация учения, успешно развивается способность ребенка понимать смысл поставленной задачи, планировать учебную работу, контролировать и оценивать ее результат. Проблемно-поисковый подход позволяет выстраивать гибкую методику обучения, хорошо адаптированную к специфике учебного содержания и конкретной педагогической ситуации, учитывать индивидуальные особенности детей, их интересы и склонности. Он дает возможность применять обширный арсенал методов и приемов эвристического характера, целенаправленно развивая познавательную активность и самостоятельность учащихся. При этом демонстрируется возможность существования различных точек зрения на один и тот же вопрос, воспитывается терпимость и уважение к мнению другого, культура диалога, что хорошо согласуется с задачей формирования толерантности [14, 15].

5. Программа «Школа 2000» (математика Л.Г. Петерсон).

Образовательная система деятельностного метода обучения «Школа 2000…» – это непрерывный курс математики авторов Л.Г. Петерсон, Г.В. Дорофеева, Е.Е. Кочемасовой, Н.П. Холиной для дошкольников, учащихся начальной и 5-6 классов средней школы. Научный руководитель проекта – Л.Г. Петерсон.

Курс является непрерывным и реализует поэтапную преемственность между всеми ступенями обучения на уровне методологии, содержания и методики. К учебникам математики Л.Г. Петерсон разработано эффективное средство управления учебным процессом.

Авторским коллективом программы «Школа 2000…» разработана система дидактических принципов деятельностного метода обучения, а именно:

- принцип деятельности – ученик получает знания не в готовом виде, а, добывает их сам, осознает содержание и формы учебной деятельности, понимает и принимает систему норм, активно участвует в их совершенствовании, что способствует активному успешному формированию его общекультурных и деятельностных способностей, общеучебных умений;

- принцип вариативности, предполагающий формирование у учащихся способностей к принятию решений в ситуациях выбора в условиях решения задач и проблем;

- принцип творчества, означающий максимальную ориентацию на творческое начало в учебной деятельности учащихся, приобретение ими собственного опыта творческой деятельности.

Программа «Школа 2000» разработана и соотнесена с различными возрастными ступенями и предусматривает применение технологии деятельностного метода обучения, которая позволяет заменить методы «объяснения» нового материала построением осознанных учащимися способов самостоятельного «открытия» новых знаний, проектирования способов решения задач, коррекции и самооценки собственной деятельности, рефлексии ее результатов. Такая технология результативна – обеспечивает высокое качество предметных знаний и умений, эффективное развитие интеллекта и творческих способностей, воспитание социально значимых личностных качеств при сохранении здоровья учащихся, способствует активному формированию способностей к рефлексивной самоорганизации, что позволяет учащимся становиться самостоятельными субъектами своей учебной деятельности и в целом успешно ориентироваться и самоопределяться в жизни. Многолетние психолого-педагогические подтвердили эффективность предложенной технологии с точки зрения развития у детей мышления, речи, творческих и коммуникативных способностей, формирования умений деятельности, а также для глубокого и прочного усвоения ими знаний [15, 23].

Таким образом, в настоящее время учителя начальных классов могут выбирать образовательную программу и учебники по математике, создающие благоприятную и комфортную среду для обучения, прививающие детям любовь к познанию с первых дней их пребывания в школе, способствующие формированию у младших школьников приемов мыслительной деятельности. Программы и учебники по математике для младших школьников составлены так, что за 4 года обучения ребенок получит все базовые знания, но материал изложен и распределен по годам в разной последовательности, что создает определенные трудности в выстраивании системы работы по формированию приемов мыслительной деятельности младших школьников при изучении математики.

1.2. Теоретические аспекты и критерии сформированности мыслительной деятельности младших школьников

1.3. Комплекс математических заданий, направленный на повышение сформированности мыслительной деятельности младших школьников

Мыслительная деятельность формируется посредством мыслительных операций, к числу которых относятся анализ, синтез, сравнение, обобщение, абстрагирование, классификация и конкретизация, математика располагает широким набором заданий, направленных на формирование мыслительной деятельности.

1. Задания на анализ и синтез.

Анализ предполагает мысленное расчленение познаваемого объекта на составные элементы, части, структуры, на ознакомление с его свойствами, качествами, особенностями и т. п. Синтез позволяет мысленно соединять выделенные части объекта в прежних или в новых сочетаниях для того, чтобы понять какая связь может существовать между ними и как они взаимодействуют. Анализ и синтез тесно связаны между собой: в процессе познания субъект переходит от анализа к синтезу, а от него снова к анализу. Это дает возможность более полно познать как отдельные части объекта, так и его строение в целом.

Соединение элементов в единое целое:

1. Вырежи из бумаги фигуры:

Составь из них домик, кораблик, рыбку.

2. В одном пучке 12 редисок, а в другом – на 2 редиски меньше. Обозначь каждую редиску кругом и покажи, сколько редисок во втором пучке. Покажи, сколько редисок в двух пучках.

3. У хозяйки 9 кур, а уток – на 4 меньше. Обозначь каждую птицу кругом и покажи на рисунке, сколько всего птиц у хозяйки.

4. В одной корзине 20 кг яблок, а в другой – 17 кг. Пользуясь отрезками, покажи массу яблок в двух корзинах.

Поиск различных признаков предмета

1. Сколько углов, сторон и вершин у пятиугольника?

Узнавание или составление объекта по заданным признакам:

1. Какое число идёт при счёте перед числом 6?

Какое число следует за числом 6? За числом 7?

2. Составь по краткой записи задачу и реши её.

Было – 18 кг

Продали – ?

Осталось – 8 кг

Постановка различных заданий к данному математическому объекту:

1. К концу учебного года у Лиды осталось 2 чистых листа в тетради по русскому языку и 5 чистых листов в тетради по математике. Поставь к этому условию сначала такой вопрос, чтобы задача решалась сложением, а потом такой вопрос, чтобы задача решалась вычитанием.

2. В коробке было 10 карандашей. Когда из коробки взяли несколько карандашей, в ней осталось 6 карандашей. Сколько карандашей взяли?

Анализ:

1. Лиза, Галя и Нина жили в разных домах. Дом №1 – высокий, каменный; №2 – высокий, деревянный; №3 – невысокий, деревянный. У кого какой дом, если у Гали и Нины – дома высокие, а у Нины и Лизы – дома деревянные.

2. У Васи и Коли вместе 15 марок. Вася подарил из них Коле 2 марки. Сколько стало у них вместе марок?

3. Перед вами три ряда чисел. Какой из них является отрезком натурального ряда чисел? Докажите.

2 3 4 5 …

1 2 3

1 3 7 8

(Второй ряд, числа начинаются с 1, числа идут по порядку, завершаются числом 3)

4. Какая фигура может быть лишней и почему?

5. Расположите выражения в порядке возрастания.

10 х 2

25 х 2

5 х 2

20 х 2

6. Найди лишнее выражение:

Ответ: Лишнее выражение 24 х 3. Сосчитайте. (72).

7. Раскрась картинку по заданию:

8. Выполни замену и заполни пустые клетки:

2. Задания, направленные на формирование операции классификации.

Операция классификации позволяет младшим школьникам приобретать мыслительный навык разбиения множества на подмножества по определённым признакам. Команды и установки в проведении этой операции над структурами знаний могут быть такими, как: распределите на части; классифицируйте по признаку; отличите по признаку и сделайте заключение; удалите лишнее, сортируйте, проверьте и т.д.

1. При формировании приема классификации дети сначала выполняют здания на классификацию знакомых предметов:

1) разложи листочки на две группы: а) по цвету; б) по размеру; в) по форме.

2) По какому признаку распределили предметы.

3) Найди среди следующих записей уравнения, выпиши их и реши.

30 + х > 40

45 – 5 =40

60 + х = 90

80 – х

38 – 8 < 50

х – 8 = 10

2. В мультфильме про динозавров 9 серий. Коля уже посмотрел 2 серии. Сколько серий ему осталось посмотреть? Составь две задачи, обратные данной. Подбери к каждой задаче схематический чертёж.

3. Распредели числа на группы по двум признакам:

25, 102, 35, 104, 260, 109, 360, 55, 14, 65, 430, 18.

4. Выполни классификацию геометрических фигур.

3. Задания, направленные на развитие умения сравнивать.

Сравнение предполагает сопоставление познаваемого объекта с другими предметами, с целью установить его сходство или различие с ними. При помощи сравнения устанавливаются внешние связи между неизвестным объектом с уже известными предметами. Благодаря этому субъект может хотя бы приблизительно понять, что собой представляет познаваемый объект.

1. У Тани было несколько значков. Она подарила 2 значка подруге, и у нее осталось 5 значков. Сколько значков было у Тани?

2. Установление сходства и различия между математическими объектами:

Составь задачу по краткой записи и реши ее.

Купили – 20 шт. Купили – ?

Израсходовали – 9 шт. Израсходовали – 9 шт.

Осталось – ? Осталось – 11 шт.

Чем похожи и чем отличаются эти задачи?

3. Из данного набора предметов найдите последовательно 2 предмета, которые похожи друг на друга (они могут быть похожи по цвету, форме, величине, материалу, другим признакам сходства). Докажите правильность подбора предметов.

4. Попарно сравните предметы:

1) маленький синий пластмассовый кубик;

2) большой деревянный кубик;

3) разноцветный стеклянный кубик;

4) кубик с блестящей поверхностью;

5) кубик из железа;

6) кубик бульонный;

7) блестящий ёлочный шар;

8) стекло в виде прямоугольника.

5. Сравни ломаные:

6. Сравни 2 столбика примеров:

18+5 28+5

16+7 36+7

13+8 43+8

7. Рассмотрите фигуры в каждом ряду. Чем похожи фигуры? Что послужило основанием для разделения фигур?

4. Задания, направленные на развитие умения обобщать.

Обобщение – умственное действие, направленное на познание общего признака, присущего целому классу объектов. Обобщение дает возможность установить связь неизвестного объекта с известными на основе наличия общего признака, свойственного им. Общий признак может быть существенным и несущественным. Несущественный общий признак может быть легко обнаружен, так как он находится на поверхности объекта и является его внешним признаком. Познание общих несущественных признаков осуществляется посредством сравнения, которое дает возможность найти сходные признаки. Общий существенный признак – это внутренний признак, который имеет мало заметное внешнее проявление.

Задания данного вида направлены на умение выделять существенные свойства предметов.

1. Найди среди следующих записей уравнения, выпиши их и реши.

30 + х > 40 45 – 5 =40 60 + х = 90

80 – х 38 – 8 < 50 х – 8 = 10

2. Как можно одним словом назвать все эти фигуры?

3. Замени умножение сложением.

17 х 1

22 х 3

15 х 4

28 х 1

23 х 3

При выполнении данного задания дети приходят к обобщению: при умножении на 1 замена на сложение невозможна.

26 : 2 х 2

16 : 8 х 8

10 : 5 х 5

При выполнении данного задания дети приходят к обобщению: если любое число разделить и умножить на одно и то же число, то получится первоначальное число

4. Задания на развитие умения абстрагировать.

Абстракция – умственное действие, посредством которого выделяется общий существенный признак в познаваемом объекте и игнорируются все другие несущественные признаки. Познание общего существенного признака при помощи абстракции возможно опосредствованным путем с применением специальных приборов и аппаратов, с использованием соответствующих методик научного исследования.

1. Видишь рисунок, выложи точно такой же ряд из четырех пластинок.

Скажи, какая пластинка лишняя и почему.

2. По этому рисунку составь ряд из пластинок. Объясни, что объединяет пластинки.

3. Какую геометрическую фигуру надо добавить, чтобы получился квадрат?

Какую часть от целого квадрата она составляет? Из каких частей сложен этот квадрат?

Придумай и сложи свой квадрат из двух равных частей.

4. У дороги сидели 3 вороны и 4 сороки. Нарисуй столько кругов, сколько всего птиц сидело у дороги.

5. Ручка длиннее карандаша на 3 см. Отметь на каждой схеме отрезок, который обозначает 3 см.

5. Существуют упражнения с ярко выраженной комплексной направленностью.

1. Логические задачи.

Вася выше Саши на 8 см, а Коля ниже Саши на 3 см. На сколько сантиметров самый высокий из мальчиков выше самого маленького?

2. «Магические квадраты».

Расставьте числа 2; 4; 5; 9; 11; 15 так, чтобы по всем линиям в сумме получилось 24.

		12
	8	7

3. Сравни уравнения в каждом столбике и, не вычисляя, скажи, в котором из них неизвестное число больше. Проверь вычислением:

х + 37 = 78 90 – х = 47 х – 28 = 32 45 + х = 63

х + 37 = 80 90 – х = 50 х – 28 = 22 45 + х = 68

Задания, направленные на развитие анализа и синтеза.

4. Расположите выражения в порядке возрастания.

10 х 2

25 х 2

5 х 2

20 х 2.

Таким образом, в курсе математики, предназначенном для младших школьников на многих страницах учебников, на полях и на иллюстрированных разворотах размещены разнообразные развивающие упражнения, задачи, задания, построенные на изучаемом в данный момент или уже изученном математическом материале и представленные в нестандартной, но интересной и доступной для детей форме, в своей совокупности способствующие формированию приемов мыслительной деятельности. Задания направлены на более глубокое осознание взаимосвязей между изученными вычислительными приемами, арифметическими действиями, величинами, геометрическими объектами. Их планомерное использование будет способствовать формированию основных приемов мыслительной деятельности младших школьников – сравнения, классификации, анализа, синтеза, абстрагирования.