Лабораторная работа № 9 Бифуркация удвоения периода

Допустим, нас интересует изменение численности какого-либо вида животных в определенном районе или бактерий в реакторе-ферментере. Один раз за определенный период (например, за год) мы считаем животных и получаем их число х. По этим данным можно построить последовательность

Естественно ожидать, что численность популяции в данный год зависит от того, сколько животных было год назад, т. е. от вели­чины х„.

Математическая модель изменения численности популяции часто представляется в виде

где λ - коэффициент роста численности популяции; N - максимальное значе­ние численности вида.

Эта модель показывает, что численность вида быстро растет, пока она мала (х„ « Ν), и начинает убывать, когда животных становится слишком много. Удобно сделать замену переменных:

При этом формула приобретает вид (опустим штрихи в безразмерном уравнении)

Нас интересует вопрос о том, что произойдет с различными видами по прошествии достаточно долгого времени, т. е. какой будет последовательность {х„} при η -> °о при различных пара­метрах λ.

При небольших λ (0 < λ < 1) значение х„ стремится к нулю независимо от выбора х\, т. е. вид, численность которого мы рассматриваем, выжить не может, сколько бы животных ни бы­ло вначале. Поведение последовательности в этом и в других случаях удобно представлять графически. Построим кривую у = = /(х) при нашем значении λ и прямую у = х (рис. 2.44). Отложим χι по оси абсцисс, проведем вертикаль до пересечения с кривой У — Α^χ) (точка А), затем из нее - горизонталь до пересечения с линией у = χ (точка В). Теперь снова проведем вертикаль до пересечения с кривой у = Дх), это даст нам точку С с коорди­натой Х2- Легко проверить, что х^ = f(x\). Взяв точку х₂ за на-

чальную и повторив все те же операции, получим х$, затем х$ и т. д. Из рисунка видно, что х„ -> 0 при η -> <*>.

Из формулы следует, что функция fix) переводит от­резок [0,1] в отрезок [0, 1/4]. Если λ < 4, то все значения х„ ле­жат на отрезке [О, 1] при условии, что 0 <, х\ £ 1. Именно поэтому говорят, что формула (2.194) задает отображение отрез­ка на себя.

Пусть теперь λ немного больше 1. При этом последователь­ность {х„} ведет себя по-другому (рис. 2.45), {х„} стремится к постоянному значению χ > 0. В применении к исходной задаче это означает, что численность такого вида по прошествии нескольких лет стабилизируется и перестает меняться со време­нем.

Графическое представление последовательности (х„)

Функция fix) и первые элементы последовательности {*„}', х„ -> χ при л -*ю

Значение х может быть найдено из уравнения

При λ < 1 квадратное уравнение

имеет один неотрицательный корень χ = 0. При λ > 1 квадрат­ное уравнение (2.196) имеет два неотрицательных корня: 5с = О, х = (λ — 1)/λ. При λ = 1 происходит бифуркация: неподвижная точка х = 0 теряет устойчивость, а вновь появившаяся точка становится устойчивой.

_ Можно определить, будет ли устойчивой неподвижная точка х отображения fix). Пусть х„ = х + Дх„, где Ддс„ - малая вели­чина. Если точка Зс устойчива, то с ростом номера последова­тельности η величина |Ах_я| должна уменьшаться. Перепишем соотношение (2.195) иначе:

Последнее приближенное равенство выполняется тем точнее, чем меньше Ах„ . Поскольку Зс = Д Зс), то

и для того чтобы Дх„ -> 0, должно выполняться неравенство

Это и есть условие устойчивости точки Зс. Проверим, будет ли точка х= 0 устойчива при λ<1. Производная от функции f(x) равна df/dx = λ - 2λχ.

_ При χ — 0 значение I df/dx 1= λ < 1. Следовательно, точка дс = 0 является действительно устойчивой неподвижной точкой. Посмотрим, при каких значениях^параметра будет устойчив вто­рой тип неподвижной точки Зс= (λ - 1)/λ. В этой точке Idf/dx\ = |2 - λ|. Следовательно, вторая неподвижная точка, со­ответствующая параметру λ, будет устойчива только для значе­ний 1 < λ < 3. Таким образом, точка Зс = (λ - 1)/λ продолжает оставаться неподвижной, но при λ > 3 теряет устойчивость.

Будем дальше увеличивать параметр λ. Поведение системы вновь изменится: в последовательности {*„}, начиная с доста­точно больших номеров и, будут чередоваться два числа - а\ и аз- Точнее говоря, последовательность устроена так, что *2и+1 -* °ь ^Х2п -* °2 ^ПР^И η-^ ао. Эти числа связаны соотноше­ниями а\ = До2)> °2 ⁼ Л^а()· Будем говорить, что в этом случае отображение (2.194) имеет устойчивый цикл с периодом 2, и обо­значим этот цикл 5². Рис. 2.46 показывает, как выглядит цикл S² на графике.

Двойной цикл в одномерном отображении. Точка χ = 1/2 является элементом устойчивого цикла

Присутствие цикла S² в нашей модели означает, что числен­ность популяции будет меняться с периодом в 2 года.

Переход от неподвижной точки, которую можно считать циклом ί¹, к циклу S² произошел в результате бифуркации, ко­торая получила название бифуркации удвоения периода. Точка χ при этом не исчезла и осталась неподвижной, однако величина \df(x)/dx\ стала больше 1. Значение λ = 3 есть точка бифурка­ции удвоения периода (это третий тип бифуркации, который мы изучаем). При дальнейшем увеличении λ последовательность {*„} опять изменяется. Возникает цикл ,У⁴(рис. 2.47):

причем

Численность популяции начинает колебаться с периодом в 4 года.

Последовательно увеличивая значение параметра λ, мы уви­дим циклы S⁸, S¹⁶, 5¹³² и т. д. При этом каждый раз цикл S² теря­ет устойчивость и устойчивым становится цикл .У²**·"¹"¹. И, наконец, при значении λ > λ^ (λ_Μ = 3,5699) формула (2.194) дает уже непериодическую последовательность {*„}.

Полученная картина оказалась очень интересной. В ней удается проследить большое количество бифуркаций, приводя­щих к усложнению решения.

Отображение: ; х [0,1],   [0,14.8].

1. Неподвижные точки

2. Графики зависимости x_j = f ( j ) для заданных значений :

6.6; 8; 11.67; 12.4; 12.78; 12.81; 13; 13.1; 13.12; 13.2; 13.7; 14.3; 14.8

при начальном условии: x₀ = 0,4.

Бифуркация удвоения периода