Лабораторная работа № 10 Странные аттракторы

В диссипативных системах при стремлении системы к аттракто­ру происходит сжатие фазового объема в точку, если аттрактор -узел или фокус; в замкнутую траекторию, если аттрактор - пре­дельный цикл и в тор, если аттрактор - двумерный тор. При этом предельный цикл соответствует устойчивому периоди­ческому движению, тор - устойчивому квазипериодическому движению. Возникает вопрос: существуют ли в трехмерном про­странстве состояний аттракторы непериодические? Да, су­ществуют так называемые странные аттракторы - аттракторы, отличные от стационарной точки, предельного цикла и двумер­ного тора. При наличии странного аттрактора также происходит сжатие фазового объема.

Сжатие фазового объема диссипативной динамической си­стемы приводит к тому, что фазовые кривые с течением време­ни стягиваются к предельному множеству - странному ат­трактору - и, попав в область, занятую им, остаются там навсег­да. На самом же аттракторе движение является неустойчивым: любые две траектории системы расходятся экспоненциально быстро, оставаясь на странном аттракторе. Иначе говоря, пове­дение системы со странным аттрактором характеризуется соче­танием глобального сжатия фазового объема с локальной неустойчивостью фазовых траекторий. Фазовые траектории странного аттрактора очень чувствительны к начальным дан­ным.

Сочетание сильной зависимости от начальных данных с при­ближенным их значением обусловливает невозможность точных долговременных прогнозов относительно эволюции системы, состоящей из трех нелинейно связанных переменных. С прак­тической точки зрения одной из наиболее чувствительных си­стем следует считать атмосферу. Лоренц в 1963 г. высказал предположение о том, что динамика атмосферы весьма чувстви­тельно зависит от начальных условий. Из этой гипотезы выте­кают самые серьезные следствия для предсказания погоды, даже если бы нам удалось усовершенствовать метеорологические мо­дели и сбор данных.

Лоренц обнаружил, что сократив число членов в уравнении Навье-Стокса, можно получить нелинейную систему уравнений всего лишь с тремя переменными, сохраняющую много харак­терных особенностей исходной системы. Эту модель мы намере­ваемся теперь рассмотреть более подробно, так как она оказалась представительным примером трехмерных систем, об­ладающих странными аттракторами.

Рассмотрим систему:

где σ, r и b - управляющие параметры; физический смысл переменных х, у, z в данном случае не имеет значения.

Опишем теперь изменение режимов движения в системе в зависимости от значений ее параметров σ, r u b.

1. Положение равновесия - стационарные точки системы Ло­ренца - находят из уравнений:

Начало координат, т.е. точка О(х = у = r), является стацио­нарной точкой при любых σ, г и b. Ее характеристическое уравнение имеет вид

Следовательно, точка О устойчива и является устойчивым уз­лом, если r<1.

2. Когда r >1, точка О теряет устойчивость, превращается в седло - узел, и в системе возникают еще две стационарные точки:

При всех r > 1 система имеет только эти три стацио­нарные точки: O, О₁ и O₂. Тип точек О₁ и Ο₂ определяется из характеристического уравнения

Отсюда находим, что точки O₁ и O₂ устойчивы, если σ > b+1 и

При г > г точки 0₁ и 0₂ становятся неустойчивыми. В этом случае характеристическое уравнение имеет один дей­ствительный отрицательный корень и два комплексно-сопряженных с положительной действительной частью, т.е. точ­ки Ο₁ и 0₂ будут стационарными точками типа седло - фокус.

Для дальнейшего изучения поведения траекторий требуется численное интегрирование уравнений, поскольку ло­кальный анализ окрестностей неустойчивых стационарных то­чек О, О₁ и 0₂ не дает сведений о характере движения в системе Лоренца.

Численное исследование системы Лоренца было выполнено многими авторами. Рассмотрим эволюцию режимов движения в уравнениях при σ = 10, b = 8/3 и 10 < r < 28.

1. При 10 < r < r1 (r1= 13,926) система имеет три состояния равновесия - 0, О1 и 02. Точка О неустойчива и представляет собой точку типа седло - узел, имеющую двумерную устойчивую область и две выходящие кривые (сепаратрисы) Г₁и Г₂. Две другие стационарные точки, 0₁ и 0₂, являются устойчивыми.

2. При r = r1 (r1 = 13,926) каждая из кривых Г1 и Г2 превращается в замкнутую петлю; при этом точки 0₁ и 0₂ остаются устойчи­выми.

3. При r1 < r < r2 (r2 = 24,06) точки 0₁ и 0₂ по-прежнему яв­ляются устойчивыми, а от каждой из замкнутых петель Г1 и Г2 рождается по седловой периодической траектории Г1 и Г2. Сепаратрисы Г1 и Г2 стремятся теперь соответственно к точкам 0₂ и 0₃. Кроме того, появляются кривые, идущие от седлового предельного цикла Г1 к li и от li к Г1. Эти кривые образуют множество B1, но это множество не является притяги­вающим и, следовательно, аттрактором. Устойчивые области седловых периодических траекторий Г₁ и li являются границами областей притяжения стационарных точек О₁ и 0₂ . Фазовая кривая, начавшаяся вне этих областей, может совершать коле­бания из окрестности Г₁ в окрестность li и обратно, пока не попадет в область притяжения одного из аттракторов – О₁ или 0₂, причем по мере приближения параметра r к значению r* число колебаний существенно возрастет. Такое поведение си­стемы называют метастабильным хаосом.

4. При r = r2 (r2 = 24,06) стационарные точки О₁ и 0₂, еще являются устойчивыми, но сепаратрисы Г₁ и γι уже не стремятся к ним, а наматываются на седловые траектории Г₁ и li соответственно. Теперь на месте множества В₁ возникает множество fy, которое при r > γι становится устойчи­вым и притягивающим.

5. При r2 < r < r3 (r3 = 24,74) точки О₁ и 0₂ по-прежнему устойчивы. Однако кроме них в фазовом пространстве системы имеется предельное множество B₂, называемое аттрактором Ло­ренца. Множество B2 представляет собой совокупность кривых, вдущих от Г1 к li и обратно; кроме них В2 содержит седловую точку 0 и ее сепаратрисы Г₁ и Г₂

Таким образом, при re (rj, гз) в системе Лоренца имеются два аттрактора: стационарные точки О1 и О2 и аттрактор Лорен­ца B2. Область притяжения В2 ограничена устойчивыми много­образиями седловых предельных циклов L\ и li. Фазовые траектории системы в зависимости от начальных усло­вий с течением времени стремятся либо к точке О\, либо к точ­ке Рг или совершают колебания, случайным образом переходя от вращения вокруг точки О1 к вращению вокруг точки 02 и обратно. Следовательно, в зависимости от начальных условий в системе могут реализоваться существенно различные ре­жимы движения: стационарный или хаотический.

6. При r > r3 (r3 = 24,74) седловые предельные циклы Г1 и Г2 стягиваются соответственно к стационарным точкам О1 и О2 и при r = r3 исчезают, сливаясь с ними; они становятся неустойчивыми.

7. При r3< r < r4 = 28 все стационарные точки (О, b и ф) являются неустойчивыми. Единственным устойчивым предель­ным множеством - аттрактором - будет В2, т. е. аттрактор Ло­ренца.

Следовательно, в динамической системе при любых начальных условиях реализуется хаотический режим движения.

При следующих значениях управляющих параметров и начальных условиях:

 = 10, b = 8/3,

a) r = –10, x₀ = 11, y₀ = 4, z₀ = 2,

б) r = 0, x₀ = 11, y₀ = 4, z₀ = 2,

в) r = 2, x₀ = 11, y₀ = 4, z₀ = 2,

г) r = 8, x₀ = 11, y₀ = 4, z₀ = 2,

д) r = 13, x₀ = 11, y₀ = 4, z₀ = 2,

е) r = 13, x₀ = –11, y₀ = 4, z₀ = 2,

ж) r = 17, x₀ = 11, y₀ = 4, z₀ = 2,

з) r = 17, x₀ = –11, y₀ = 4, z₀ = 2,

и) r = 26, x₀ = 11, y₀ = 4, z₀ = 2

Шаг по времени t = 0,01.

Вывод: Единственное устойчивое множество в системе – странный аттрактор (это множество, характеризующееся сжатием фазового объема, внутри которого сохраняется хаотическое поведение траектории)

30