Выводы по главе 2

Заключение

Список литературы

Приложение

ВВЕДЕНИЕ

младший школьник алгоритм

Мы даже не замечаем, как в повседневной жизни используем алгоритмы. Завести машину, приготовить еду - все это выполняется в определенной последовательности. Каждый из нас ежедневно использует сотни различных алгоритмов. Например, правила сложения, вычитания, деления, умножения чисел; грамматические правила правописания слов и предложений, а также различные инструкции и правила - все это алгоритмы. Из приведенных примеров ясно, что алгоритмы, алгоритмические процессы неотделимы от нас и являются составной частью нашей жизни. Почти все сферы жизнедеятельности человека связаны с алгоритмами.

Актуальность нашего исследования обусловлена тем, что в настоящее время возрастает роль творческой, активной, мыслящей личности педагога в условиях введения нового ФГОС НОО. Поэтому важнейшей задачей педагогической науки является совершенствование планирования процесса обучения в целом и повышение эффективности управления познавательной деятельностью учащихся.

Поиски оптимальных путей управления обучением вылились в создание новой системы учебной работы, названной программированным обучением, одной из составляющих которого является алгоритмизация.

В настоящее время наука и техника развиваются настолько быстро, что своевременное обобщение потока научной информации без применения кибернетических средств представляет значительную трудность.

Не менее сложным является сообщение учащимся знаний, так как их объем из года в год увеличивается, тогда как сроки и методы обучения остаются неизменными. В связи с этим все большее число преподавателей приходит к выводу о недостаточности традиционных способов обучения и необходимости их совершенствования на основе новейших достижений науки и техники.

В ряде научных работ Грабарь М.Н., Краснянской К.А, Завырыкина В.М., Житомирского В.Г., Ильиной Т.А., Тельновой Ж.Н. показаны возможности и необходимость повышения качества обучения младших школьников посредством формирования и развития их алгоритмической культуры и соответствующей подготовки учителей начальных классов. Однако в данных исследованиях недостаточно внимания уделяется развивающим возможностям алгоритмов и предписаний алгоритмического типа, не обоснованы дидактические условия, обеспечивающие повышение эффективности учебной деятельности учащихся начальных классов средствами ее алгоритмизации, отсутствует система алгоритмов и предписаний и технология ее реализации в обучении младших школьников, особенно с учетом современных требований к организации образовательного процесса. Поэтому вопрос о целесообразности и эффективности алгоритмизации учебной деятельности в начальной школе до настоящего времени остается дискуссионным.

На уроках математики в начальной школе применяются алгоритмы письменного сложения, вычитания, умножения и деления. Однако это не единственный вид алгоритмов, который включается в содержание школьного урока начальной школы. Существуют и алгоритмы решения задач, уравнений, неравенств, нахождения площадей и периметров геометрических фигур и другие.

А значит, проблема недостаточного внедрения алгоритмов различного типа является актуальной, и тема исследования выбрана верно: «Алгоритмы в начальной школе и методика обучения алгоритмам».

Объект исследования: процесс обучения математике в начальной школе.

Предмет исследования: применение алгоритмов на уроках математики в начальной школе.

Цель работы: изучение методических особенностей применения алгоритмов в начальной школе с целью формирования УУД.

В соответствии с целью определены следующие задачи:

-определить сущность понятия «алгоритм»;

-выявить основные виды алгоритмов, используемые на уроках математики в начальной школе;

-проанализировать учебники математики начальной школы на включение в них алгоритмов в соответствии с ФГОС НОО;

-разработать систему уроков с использованием алгоритмов в соответствии с ФГОС НОО.

Гипотеза: формирование УУД у младших школьников будет проходить более эффективно чем в массовом обучении, если в процессе обучения математики будут применяться алгоритмы разных видов: линейные, словесные, таблицы, блок - схемы и граф - схемы.

Методологическую основу исследования составляют: теория поэтапного формирования умственных действий (П.Я. Гальперин, Н.Ф. Талызина); дидактические исследования в области алгоритмизации обучения (В.А. Далингер, JI.H. Ланда, М.П. Лапчик, В.М. Монахов, Н.Ф. Талызина, Л.М. Фридман, А.Т. Шумилин и др.).

Методы исследования:

- теоретический - анализ психолого-педагогической литературы по теме исследования, изучение текста учебников на предмет включения в них алгоритмов или заданий алгоритмического типа;

- эмпирический - анкетирование, проводимое на констатирующем и контрольном этапах исследования;

- методы обработки данных: количественный и качественный анализ результатов исследования;

- методы математической статистики (частотный анализ, сравнение средних результатов).

Исследование проводилось на базе МОУ лицей №7 Дзержинского района города Волгограда. Выборку составили 21 ученика 3 «г» класса(10 девочек и 11 мальчиков).

Этапы исследования:

- изучение необходимой литературы по теме исследования;

- на констатирующем этапе - проведение анкетирования для выявления уровня сформированности у детей понятия алгоритма и умения работать с ним;

- на формирующем этапе - разработка системы заданий с применением разного вида алгоритмов в начальной школе. Включение этих заданий в уроки математики в экспериментальном классе;

- на контрольном этапе - проведение анкетирования с целью изучения уровня сформированности у детей понятия алгоритма и умения работать с ним после формирующего этапа;

Научная новизна работы заключается в разработке комплекса уроков математики с использованием алгоритмов разных видов с целью формирования УУД у младших школьников.

Данная работа имеет практическая ценность для учителей начальных классов на уроках математики для более эффективного усвоения детьми учебного материала и с целью развития у младших школьников УУД. Отметим, что результаты исследования были изложены на студенческих конференциях, в виде публикации, статья «Алгоритмы в начальной школе и методика обучения алгоритмам» в Вестнике студенческого научного общества № 29 2013 года.

Структура дипломной работы. Работа состоит из введения, двух глав, выводов к главам, заключения, литературных источников и 2 приложений. Объем основного текста дипломной работы составляет 83 страницы.

ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ АЛГОРИТМИЗАЦИ ПРОЦЕССА ОБУЧЕНИЯ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ

1.1 Понятие алгоритма. Виды алгоритмов

Среди разнообразных правил, с которыми приходится сталкиваться ежедневно и ежечасно, особую роль играют правила, предписывающие последовательность действий, ведущих к достижению некоторого необходимого результата. Нередко их называют алгоритмами.

Слово «алгоритм» происходит от имени выдающегося математика средневекового Востока Мухаммеда бена Муса аль-Хорезми. В одном из своих трудов он описал десятичную систему счисления и впервые сформулировал правила выполнения арифметических действий над целыми числами и обыкновенными дробями.

Аль - Хорезми стремился к тому, чтобы сформулированные им правила были понятными. Достичь этого в IX веке, когда еще не была разработана математическая символика (знаки операций, скобки, буквенные обозначения и т.д.), было трудно. Однако ему удалось выработать четкий стиль строгого словесного предписания, который не давал читателю возможность уклонится от предписанного или пропустить какие-нибудь действия.

Правила в книгах Ал - Хорезми в латинском переводе начинались словами «Алгоризми сказал». В других латинских переводах автор именовался как Адгоритмус. Со временем было забыто, что Алгоризми (Алгоритмус) - это автор правил, и эти правила стали называть алгоритмами [Стойлова, 2007].

Единого «истинного» определения понятия «алгоритм» нет. Научное определение понятия алгоритма дал Алонзо Черч в 1930 году. Алгоритм означает точное описание некоторого процесса, инструкцию по его выполнению. [Кнут, 1976].

Согласно другому определению, которое дал В. П. Беспалько, под алгоритмом понимают точное, общепонятное описание определенной последовательности интеллектуальных операций, необходимых и достаточных для решения любой из задач, принадлежащих к некоторому классу [Беспалько, 1997].

По А.А. Маркову в математическом обиходе под алгоритмом принято понимать «точное предписание, определяющее вычислительный процесс, ведущий от варьируемых исходных данных к искомому результату» [Марков, 1984].

Л.Н. Ланда определяет алгоритм, как правило, предписывающее последовательность элементарных действий (операций), которые в силу их простоты однозначно понимаются и исполняются всеми. Алгоритм -- это система указаний (предписаний) об этих действиях, о том, какие из них и как надо производить [Ланда, 1996].

Определение, которое дает в своей книге Н.А.Криницкий, звучит так: алгоритм -- это правило, сформулированное на некотором языке и определяющее процесс переработки допустимых исходных данных в искомые результаты. [Криницкий, 1984].

Алгоритм -- это конечный набор правил, который определяет последовательность операций для решения конкретного множества задач и обладает пятью важными чертами: конечность, определённость, ввод, вывод, эффективность [Кнут, 1976].

Алгоритм -- это всякая система вычислений, выполняемых по строго определённым правилам, которая после какого-либо числа шагов заведомо приводит к решению поставленной задачи [Колмогоров, 1987].

Алгоритм -- правило действий, последовательность проведения вычислительных операций, способ нахождения искомого результата [Райзберг, 2007].

Алгоритм -- совокупность предписаний о последовательном выполнении системы различных операции (вычислений), необходимых для решения определенной задачи [Паффенгольц, 1978].

Алгоритм - математическая система операций (напр., вычислений), применяемых по строго определенным правилам, которая после последовательного их выполнения приводит к решению поставленной задачи [Комлев, 2006].

Алгоритм [algorithm] -- точное предписание относительно последовательности действий (шагов), преобразующих исходные данные в искомый результат [Дело, Лопатников, 2003].

Алгоритм - совокупность действий, правил для решения данной задачи [Ожегов, 2008].

Большая советская энциклопедия трактует понятие «алгоритм» как точное предписание, которое задает вычислительный процесс, начинающийся с произвольного исходного данного и на определение полностью определяемого этим исходным данным результата[Прохоров, 2003].

В своей работе мы будем опираться на определение, данное Л.П. Стойловой, в соответствии с которым алгоритм рассматривается как программа действий для решения задач определенного типа [Стойлова, 2007].

Алгоритмы в зависимости от цели, начальных условий задачи, путей ее решения, определения действий исполнителя подразделяются следующим образом:

* Механические алгоритмы, или иначе детерминированные, жесткие (например, алгоритм работы машины, двигателя и т.п.);

* Гибкие алгоритмы, например стохастические, т.е. вероятностные и эвристические. Механический алгоритм задает определенные действия, обозначая их в единственной и достоверной последовательности, обеспечивая тем самым однозначный требуемый или искомый результат, если выполняются те условия процесса, задачи, для которых разработан алгоритм.

* Вероятностный (стохастический) алгоритм дает программу решения задачи несколькими путями или способами, приводящими к вероятному достижению результата.

* Эвристический алгоритм- это такой алгоритм, в котором достижение конечного результата программы действий однозначно не предопределено, так же как не обозначена вся последовательность действий, не выявлены все действия исполнителя.

* Линейный алгоритм - набор команд, выполняемых последовательно во времени друг за другом.

* Разветвляющийся алгоритм - алгоритм, содержащий хотя бы одно условие, в результате проверки которого ЭВМ обеспечивает переход на один из двух возможных шагов.

* Циклический алгоритм - алгоритм, предусматривающий многократное повторение одного и того же действия (одних и тех же операций) над новыми исходными данными. К циклическим алгоритмам сводится большинство методов вычислений, перебора вариантов.

* Вспомогательный алгоритм (процедура) - алгоритм, ранее разработанный и целиком используемый при алгоритмизации конкретной задачи. В некоторых случаях при наличии одинаковых последовательностей указаний (команд) для различных данных с целью сокращения записи также выделяют вспомогательный алгоритм [Интернет ресурс].

Профессор Стендфортского университета Д.Кнут (Калифорния, США) в книге «Искусство программирования для ЭВМ» отмечает, что современное значение слова «алгоритм» очень схоже со значением слов «рецепт», «процесс», «метод», «способ», «программа», но имеет свой дополнительный смысловой оттенок. Это уточнение смысла может быть сформулировано как перечень некоторых свойств, которыми должен обладать любой алгоритм.

Приведем перечень наиболее важных свойств алгоритма:

1. Дискретность;

2. Элементарность шагов;

3. Определенность (детерминированность).

4. Результативность.

5. Массовость.

1. Дискретность. Шаги в алгоритме должны идти в определенной последовательности. Это означает, что в любом алгоритме для следующего шага (кроме последнего) можно указать единственный непосредственно следующий за ним шаг, то есть такой, что между ними нет других шагов. Это свойство дискретности организмов.

Дискретная структура алгоритмов хорошо видна в алгоритмах выполнения арифметических действий. Например, алгоритм нахождения суммы 34+23 формулируется так:

1) Пишу десятки под десятками, а единицы под единицами.

2) Складываю единицы: 4+3=7

3) Складываю десятки:3+2=5, пишу 5 под десятками.

4) Читаю ответ: сумма равна 57.

2. Элементарность шагов. Каждый шаг программы, задающей алгоритм, должен состоять из выполнимых действий. Это означает, что предусмотренные действия были выполнимы теми исполнителями, которым она адресована. Так, например, задание «решить уравнение х+9=17» один ученик уверенно выполняет и получает искомое значение переменной х, так как владеет всеми действиями, необходимыми для решения простейших уравнений:

1) прочитай уравнение;

2) установи, какой компонент неизвестен;

3) вспомни правило, как найти значение неизвестного;

4) найди значение неизвестного;

5) сделай проверку;

6) запиши ответ.

Другой не справляется с заданием или получает неверный ответ, так как не владеет хотя бы одним из действий, которые требуются для выполнения данного задания.

Как видно из примера под словом «действие» понимаются не только математические операции, но оно имеет и более широкий смысл.

Кроме того, в алгоритме недопустимы также ситуации, когда после выполнения очередного действия исполнителю неясно, какое из них должно выполняться на следующем этапе.

Все сказанное характеризует свойство алгоритма, называемое свойством элементарных шагов.

3. Определенность. Каждая программа, задающая алгоритм, должна состоять из конечного числа шагов, а каждый шаг должен быть точно и однозначно определен. Это свойство алгоритмов называется свойством определенности (или детерминированности).

4. Результативности. Программа, задающая алгоритм должна быть направлена на получение определенного результата. Получение результата за конечное число шагов составляет свойство результативности алгоритма. Эта черта выражается в том, что алгоритм всегда направлен на получение некоторого искомого результата. Эта черта алгоритма, однако, не предполагает, что алгоритмы приводят к получению нужного результата при всех исходных данных, принадлежащих к определенному классу, возможно, что к некоторым исходным данным алгоритм оказывается неприменимым, и тогда процесс выполнения алгоритма либо безрезультативно обрывается, либо никогда не заканчивается.

5. Массовость. Программа, задающая алгоритм, должна быть применима к любой задаче рассматриваемого типа. Другими словами, каждый алгоритм предназначен для решения не одной-единственной, а любой из некоторого бесконечного класса однотипных задач.

Например, алгоритм решения линейного уравнения первой степени применяется для решения всех уравнений вида ах + b=0. В этом состоит свойство массовости алгоритмов [Игнатова, 1989].

Одним из источников алгоритмов является практика, которая предоставляет нам две основные возможности: наблюдение и эксперимент (а также любые их комбинации).

Объектом наблюдения может быть какое-либо живое существо (в частности, человек), умеющее решать какую-либо из возникающих перед ним задач. Описывая его действия, анализируя их зависимость от изменяющихся условий, можно получить алгоритм для решения упомянутой задачи. Получаемые этим путем алгоритмы обычно называют имитирующими. В более сложном случае объектом наблюдения может быть коллектив совместно действующих живых существ.

В еще более сложных случаях наблюдают какой-либо процесс, протекающий в неживой природе, организме или в обществе, изучают влияние на него различных факторов; в конце концов, может быть получен алгоритм управления этим процессом (который будет эффективным, если существует реальная возможность изменять определяющие процесс факторы). Алгоритмы, полученные таким образом, принято называть эмпирическими.

Алгоритмы иногда можно получить экспериментально, подбирая действия, приводящие к желаемому результату. Их не выделяют в отдельную группу и условно относят к эмпирическим.

В качестве второго источника следует указать научную теорию, из основных положений и установленных фактов которой алгоритмы в некоторых случаях могут быть выведены.

Третьим источником новых алгоритмов может являться совокупность уже накопленных. Когда с помощью специальных приемов из имеющихся алгоритмов можно получать новые.

Наконец, четвертым источником алгоритмов может быть изобретательность их разработчика. Алгоритмы кодирования и декодирования по заданному ключу происходят из этого источника.

Как бы ни был получен алгоритм, он должен быть обоснован; это означает, что если алгоритм создан для решения определенной задачи, то необходима уверенность в том, что для всех исходных данных, для которых эта задача может быть решена, алгоритм позволяет получить решение и ни для каких исходных данных не дает неправильного результата. Это называется корректностью алгоритма.

Корректность эмпирических алгоритмов обычно проверяют экспериментально. Какую-то уверенность в их корректности можно получить, если их многократное применение всегда приводит к необходимому результату. Однако одно только многократное экспериментальное подтверждение еще не вселяет полной уверенности.

Полная уверенность в корректности эмпирического алгоритма возникает лишь в том случае, когда полученныеc его помощью результаты не только подтверждаются экспериментально, но и согласуются со всеми другими накопленными и объединенными в научную теорию фактами данной области науки или техники.

Если хотя бы один из даваемых алгоритмом результатов противоречит хотя бы одному из ранее установленных и получивших признание фактов, эмпирический алгоритм нельзя признать корректным (хотя после проверки может оказаться некорректным не алгоритм, а тот факт, которому он противоречит). Корректность теоретически обусловленных алгоритмов гарантируется наличием соответствующих доказательств.

Очень интересен вопрос об установлении корректности алгоритмов, полученных на основе других, ранее разработанных и заведомо корректных алгоритмов. Решение этого вопроса зависит от приема, который был применен для получения нового алгоритма.

Перечислим наиболее часто применяемые приемы.

1) Конструирование алгоритмов. Этот прием заключается в том, что новый алгоритм получают комбинированием уже известных алгоритмов как составных частей.

2) Эквивалентные преобразования алгоритмов. Два алгоритма называют эквивалентными, если: а) всякий вариант исходного данного, допустимый для одного из них, допустим и для другого; б) применимость одного алгоритма к какому-либо исходному данному гарантирует, что и другой алгоритм применим к этому исходному данному; в) результаты, даваемые этими алгоритмами для одного и того же исходного данного, между собой одинаковы.

Всякое изменение алгоритма, в результате которого снова получается алгоритм и при этом эквивалентный исходному алгоритму, называется эквивалентным преобразованием алгоритма. Примером эквивалентного преобразования алгоритма является его перевод с одного языка на другой.

3) Сужающие преобразования. Они приводят к алгоритмам решения задач, являющихся частными случаями тех задач, для решения которых были предназначены исходные алгоритмы.

4) Применение формального метода к нематематической проблеме. Этот прием заключается в том, что нематематическую проблему формулируют математически. При этом может оказаться, что известен алгоритм решения получившейся математической задачи. Этот алгоритм и принимается за искомый. Если готового алгоритма не окажется, то делают попытку его разработки, тем самым обращаясь ко второму из указанных выше источников для получения алгоритмов.

Корректность алгоритмов, полученных путем конструирования, не вызывает сомнений, если алгоритмы, использованные в качестве «строительного материала», дают точные результаты. Если же их результаты являются приближенными, как это часто бывает на практике, то обоснование корректности может требовать сложных исследований.

Доказательством корректности алгоритмов, полученных с помощью эквивалентных преобразований, является правильность преобразований

Корректность алгоритмов, полученных путем сужающих преобразований, обеспечивается проверкой (доказательством) того, что каждый результат, получаемый суженным алгоритмом, тождествен с результатом, который для того же варианта исходного данного дает исходный алгоритм.

Наконец, корректность алгоритма, полученного в результате применения формального метода, выясняется либо так же, как для эмпирических алгоритмов, либо а) оценкой, так называемой адекватности полученной математической задачи (т. е. возможности получения при ее решении результата, достаточно близкого к искомому результату) и б) доказательством корректности алгоритма решения математической задачи [Криницкий, 1984].

Алгоритмы, полученные в результате изобретательности разработчика, также требуют обоснования. Обычно с ними поступают либо как с эмпирическими, либо (уже после их получения) проделывают все действия, предусматриваемые формальным методом.

1.2 Алгоритмы в начальной школе на уроках математики

Обучение элементам алгоритмизации в начальных классах очень важно с пропедевтической точки зрения. Описание какого-либо процесса по шагам, этапам доступно младшим школьникам. Составление алгоритма позволяет детям не только научиться решать примеры, но и контролировать свои действия. Дети, участвуя в составлении алгоритма, настолько увлекаются процессом пошаговых действий, что при его использовании ошибочных ответов почти не допускают.

Наиболее часто используемые алгоритмы на уроках математике в начальных классах это алгоритмы сложения, вычитания, умножения и деления натуральных чисел. Остановимся подробно на каждом из них.

Алгоритм сложения. Сложение однозначных чисел можно выполнить, основываясь на определении этого действия, но чтобы всякий раз не обращаться к определению, все суммы, которые получаются при сложении однозначных чисел, записывают в особую таблицу, называемую таблицей сложения однозначных чисел, и запоминают.

Естественно, смысл сложения сохраняется и для многозначных чисел, но практическое выполнение сложения происходит по особым правилам. Сумму многозначных чисел обычно находят, выполняя сложение столбиком. Например:

+ 341

7238

7579

Выясним, каким образом возникает этот алгоритм, какие теоретические положения лежат в его основе.

Представим слагаемые 341 и 7 238 в виде суммы степеней десяти с коэффициентами:

341 + 7 238 = (3 *102 + 4 * 10 + 1) + (7 * 103 + 2 * 102 + 3 * 10 + 8).

Раскроем скобки в полученном выражении, поменяем местами и сгруппируем слагаемые так, чтобы единицы оказались рядом с единицами, десятки -- с десятками и т.д. Все преобразования можно выполнить на основании соответствующих свойств сложения. Свойство ассоциативности разрешает записать выражение без скобок:

3 * 102 + 4 * 10 + 1 + 7 * 103 + 2 * 102 + 3 * 10 + 8.

На основании свойства коммутативности поменяем местами слагаемые: 7 * * 103 + 3 * 102 + 2 * 102 + 4 * 10 + 3 * 10 + 1 + 8. Согласно свойству ассоциативности, произведем группировку: 7 * 103 + (3 * 102 + 2- 102) + (4* 10+ + 3 * 10) + (1+ 8). Вынесем за скобки в первой выделенной группе число 102, во второй -- 10. Это можно сделать в соответствии со свойством дистрибутивности умножения относительно сложения:

7 * 103 + (3 + 2) * 102 + (4 + 3) * 10 + (1 + 8).

Итак, сложение данных чисел 341 и 7 238 свелось к сложению однозначных чисел, изображенных цифрами соответствующих разрядов. Эти суммы находим по таблице сложения: 7 * 103 + 5 * 102 + + 7-10 + 9. Полученное выражение есть десятичная запись числа 7 579.

Видим, что в основе алгоритма сложения многозначных чисел лежат следующие теоретические факты:

способ записи чисел в десятичной системе счисления;

свойства коммутативности и ассоциативности сложения;

дистрибутивность умножения относительно сложения;

таблица сложения однозначных чисел.

Нетрудно убедиться в том, что в случае сложения чисел «с переходом через десяток» теоретические основы алгоритма сложения будут теми же. Рассмотрим, например, сумму 748 + 436.

Представим слагаемые в виде суммы степеней десяти с соответствующими коэффициентами: (7 * 102 + 4 * 10 + 8) + (4 * 102 + 3 * 10 + 6). Воспользуемся свойствами сложения и дистрибутивностью умножения относительно сложения и преобразуем полученное выражение к такому виду:

(7 + 4) * 102 + (4 + 3) * 10 + (8 + 6). Видим, что в этом случае сложение данных чисел также свелось к сложению однозначных чисел, но суммы 7 + 4,

8 + 6 превышают 10 и поэтому последнее выражение не является десятичной записью числа. Необходимо сделать так, чтобы коэффициенты перед степенями 10 оказались меньше 10. Для этого выполним ряд преобразований. Сначала сумму 8 + 6 представим в виде 1*10 + 4:

(7 + 4) * 102 + (4 + 3) * 10 + (1 * 10 + 4).

Затем воспользуемся свойствами сложения и умножения и приведем полученное выражение к виду: (7 + 4) * 102 + (4 + 3 + 1) * 10 + 4.

Суть последнего преобразования такова: десяток, который получился при сложении единиц, прибавим к десяткам данных чисел. И наконец, записав сумму 7 + 4 в виде 1*10+1, получаем: (1 * 10 + 1) * 102 + 8 * 10 + 4. Последнее выражение есть десятичная запись числа 1 184. Следовательно, 748 + 436 = 1 184.

Выведем алгоритм сложения многозначных чисел в общем виде. Пусть даны числа: х = аn * 10n + аn-1 * 10 n-1+ ... + а0 и у = bn *10 n + bn-1 * 10 n-1+ ... + b0, т.е. рассмотрим случай, когда количество цифр в записи чисел х и у одинаково. Найдем сумму х + у = (а n *10 n + аn-1 * 10 n-1+ ... + а0) + (bn *10 n + bn-1 *

*10 n-1+ ... + b0) = (аn + bn ) * 10 n + (аn-1 + bn-1) * 10 n-1 + ... + (а0 + b0) -преобразования выполнены на основе свойств ассоциативности и коммутативности сложения, а также дистрибутивности умножения относительно сложения. Сумму (аn + bn ) * 10 n + (аn-1 + bn-1) * 10 n-1 + ... + (а0 + b0)), вообще говоря, нельзя рассматривать как десятичную запись числа х + у, так как коэффициенты перед степенями 10 могут быть больше 9. Лишь в случае, когда все суммы ак + bк не превосходят 9, операцию сложения можно считать законченной. В противном случае выбираем наименьшее к, для которого ак + bк> 10. Если ак+ bк> 10, то из того, что 0 < ак < 9 и 0 < bк < 9, следует неравенство 0 < ак + bк < 18 и поэтому ак + bк можно представить в виде ак + bк = = 10 + ск, где 0 < ск < 9. Но тогда (ак + bк) * 10 n = (10 + ск) * 10 n = = 10 k+1 + cк 10 k. В силу свойств сложения и умножения в (аn + bn) * 10 n + ... + (а0 + b0) слагаемые (ак+1 + bк+1) * 10 k+1 + (ак + bк) * 10 k могут быть заменены на (ак+1 + bк+1 + 1) * 10 k+1 + ск- 10 k. После этого рассматриваем коэффициенты аn + bn, аn-1 + bn-1, …, ак+2 + bк+1, аk+1 + bк+1 + 1, выбираем наименьшее s, при котором коэффициент больше 9, и повторяем описанную процедуру. Через п шагов придем к выражению вида: х + у = (с n + 10) * 10 n + ... + с0, где

с n ? 0, или х + у = 10 n+1 + сn * 10 n + ... + с0, и где для всех п выполняется равенство 0 < сn < 10. Тем самым получена десятичная запись числа х + у.

В случае, когда десятичные записи слагаемых имеют разное количество цифр, надо приписать к числу, имеющему меньшее количество цифр, несколько нулей впереди, уравняв количество цифр в обоих слагаемых. После этого применяется описанный выше процесс сложения.

В общем виде алгоритм сложения натуральных чисел, записанных в десятичной системе счисления, формулируют так:

записывают второе слагаемое под первым так, чтобы соответствующие разряды находились друг под другом;

складывают единицы первого разряда. Если сумма меньше десяти ее записывают в разряд единиц ответа и переходят к следующему разряду (десятков);

если сумма единиц больше или равна десяти, то ее представляют в виде а0 + b0 = 1 * 10 + с0, где с0 -- однозначное число; записывают с0 в разряд единиц ответа и прибавляют 1 к десяткам первого слагаемого, после чего переходят к разряду десятков;

повторяют те же действия с десятками, потом с сотнями и т.д. Процесс заканчивается, когда оказываются сложенными цифры старших разрядов. При этом, если их сумма больше или равна десяти, то впереди обоих слагаемых приписывают нули, увеличивают нуль перед первым слагаемым на 1 и выполняют сложение 1 + 0=1.

Заметим, что в этом алгоритме (как и в некоторых других) для краткости употребляется термин «цифра» вместо «однозначное число, изображаемое цифрой».

Алгоритм вычитания. Вычитание однозначного числа b из однозначного или двузначного числа а, не превышающего 18, сводится к поиску такого числа с, что b + с = а, и происходит с учетом таблицы сложения однозначных чисел.

Если же числа а и b многозначные и b < а, то смысл действия вычитания остается тем же, что и для вычитания в пределах 20, но техника нахождения разности становится иной: разность многозначных чисел чаще всего находят, производя вычисления столбиком, по определенному алгоритму. Выясним, каким образом возникает этот алгоритм, какие теоретические факты лежат в его основе.

Рассмотрим разность чисел 485 и 231. Воспользуемся правилом записи чисел в десятичной системе счисления и представим данную разность в таком виде: 485-231 = (4 * 102 + 8 * 10 + 5) - (2 * 102 + 3-10+1). Чтобы вычесть из числа

4 * 102 + 8 * 10 + 5 сумму 2 * 102 + 3 - 10 + 1, достаточно вычесть из него каждое слагаемое этой суммы одно за другим, и тогда:

(4- 102 + 8- 10 + 5)-(2- 102 + 3* 10 + 1) =

= (4- 102 + 8* 10 + 5) - 2 * 102 - 3 * 10 - 1.

Чтобы вычесть число из суммы, достаточно вычесть его из какого-либо одного слагаемого (большего или равного этому числу). Поэтому число

2 * 102 вычтем из слагаемого 4 * 102, число 3 * 10 -- из слагаемого 8 * 10, а число 1 -- из слагаемого 5, тогда:

(4-102 + 8 10 + 5)- 2*102- 3 10- 1 = (4 * 102 -

- 2 * 102) + (8 * 10 - 3 * 10) + (5 - 1).

Воспользуемся дистрибутивностью умножения относительно вычитания и вынесем за скобки 102 и 10. Тогда выражение будет иметь вид: (4- 2) * 102 + (8 - - 3) * 10 + (5 - 1). Видим, что вычитание трехзначного числа 231 из трехзначного числа 485 свелось к вычитанию однозначных чисел, изображенных цифрами соответствующих разрядов в записи заданных трехзначных чисел. Разности 4-2,

8 - 3 и 5 - 1 находим по таблице сложения и получаем выражение: 2 * 102 + 5 * 10 + 4, которое является записью числа 254 в десятичной системе счисления. Таким образом, 485-231 = 254. Выражение (4- 2)* * 102 + (8 - 3) * 10 + (5 - 1) задает правило вычитания, которое обычно выполняется столбиком:

_485

231

254

Видим, что вычитание многозначного числа из многозначного основывается на:

способе записи числа в десятичной системе счисления;

правилах вычитания числа из суммы и суммы из числа;

свойстве дистрибутивности умножения относительно вычитания;

таблице сложения однозначных чисел.

Нетрудно убедиться в том, что если в каком-нибудь разряде уменьшаемого стоит однозначное число, меньше числа в том же разряде вычитаемого, то в основе вычитания лежат те же теоретические факты и таблица сложения однозначных чисел. Найдем, например, разность чисел 760 - 326 по правилу записи чисел в десятичной системе счисления:

760 - 326 = (7 * 102 + 6 * 10 + 0) - (3 * 102 + 2 * 10 + 6).

Поскольку из числа 0 нельзя вычесть 6, то выполнить вычитание аналогичное тому, как было сделано в первом случае, невозможно. Поэтому возьмем из числа 760 один десяток и представим его в виде 10 единиц -- десятичная система счисления позволяет это сделать -- тогда будем иметь выражение: (7 * 102+ + 5 * 10 + 10) - (3 * 102 + 2 * 10 + 6). Если теперь воспользоваться правилами вычитания суммы из числа и числа из суммы, а также дистрибутивностью умножения относительно вычитания, то получим выражение (7 - 3) * 10 2 + (5 - 2) * 10 + + (10 - 6) или 4 * 102 + 3 * 10 + 4. Последняя сумма есть запись числа 434 в десятичной системе счисления. Значит, 760 - 326 = 434.

Рассмотрим процесс вычитания многозначного числа из многозначного в общем виде.

Пусть даны два числа х = а n *10 n + аn-1 * 10 n-1+ ... + а0 и bn *10 n + bn-1 *

*10 n-1+ ... + b0. Известно также, что у < х. Используя правила вычитания числа из суммы и суммы из числа, дистрибутивность умножения относительно вычитания, можно записать, что

х-у = (а n - bп) * 10 n + (а n - 1 - b n - 1) * 10n-1 + ... + (а0 - b0). (1)

Эта формула задает алгоритм вычитания, но при условии, что для всех к выполняется условие ак > bк. Если же это условие не выполняется, то берем наименьшее к, для которого ак < Ьк. Пусть от -- наименьший индекс, такой, что т > к и ат ? 0, а ат-1 = ... = аk+1 = 0. Имеет место равенство ат * 10 m = = (ат- 1) * 10m + + 9 -10 m-1 + ... + 9 * 10 k+1+ 10- 10 k (например, если m = 4, к = 1, ат = 6, то 6-104 = = 5- 104 + 9- 103 + 9 * 102 + 10 * 10). Поэтому в равенстве (1) выражение (ат -- bт) * 10m + ... + (ак-bк) * 10 k можно заменить на (ат-bт- 1) *10m + (9-bm-1) *

* 10 m-1 + ... + (9-bк+1) * 10k+1 + (ак + 10-bк) * * 10 k. Из того, что ак< bк < 10, вытекает неравенство 0 < 10 + ак - bк < 10, а из того, что 0 < bs < 9, вытекает неравенство 0 < 9 - bs < 10, где k + 1 < s < m - - 1. Поэтому в записи х -у = (аn -- bn) * * 10 n + ... + (ат- bт- 1) * 10 m + (9- bm-1) *10m-1 + ... + (9-bк+]) * 10k+1 + (ак + 10-bк) * * 10 k + ... + (а0-b0) все коэффициенты с индексом, меньшим от, неотрицательны и не превосходят 9. Применяя далее те же преобразования к коэффициентам аn-- bn,…, аm-bm - 1, через п шагов придем к записи разности х-у в виде х-у=сn - - 10n + сп-1 * 10n-1 + ... + с0, где для всех к выполняется неравенство 0 < ск < 10. Если при этом окажется, что сn = 0, то надо отбросить первые слагаемые, вплоть до первого коэффициента, отличного от нуля.

В общем виде алгоритм вычитания чисел в десятичной системе счисления формулируют так:

записывают вычитаемое под уменьшаемым так, чтобы соответствующие разряды находились друг под другом;

если цифра в разряде единиц вычитаемого не превосходит соответствующей цифры уменьшаемого, вычитают ее, из цифры уменьшаемого, записывают разность в разряд единиц искомого числа, после чего переходят к следующему разряду;

если же цифра единиц вычитаемого больше единиц уменьшаемого, т.е. b0 > а0, а цифра десятков уменьшаемого отлична от нуля, то уменьшают цифру десятков уменьшаемого на 1, одновременно увеличив цифру единиц уменьшаемого на 10, после чего вычитают из числа 10 + а0 число b0 и записывают разность в разряде единиц искомого числа, далее переходят к следующему разряду;

если цифра единиц вычитаемого больше цифры единиц уменьшаемого, стоящие в разряде десятков, сотен и т.д. уменьшаемого, равны нулю, то берут первую отличную от нуля цифру в уменьшаемом (после разряда единиц), уменьшают ее на 1, все цифры в младших разрядах до разряда десятков включительно увеличивают на 9, а цифру в разряде единиц на 10: вычитают b0 из 10+ + а0, записывают разность в разряде единиц искомого числа и переходят к следующему разряду;

в следующем разряде повторяют описанный процесс;

вычитание заканчивается, когда производится вычитание из старшего разряда уменьшаемого.

Алгоритм умножения. Умножение однозначных чисел можно выполнить, основываясь на определении этого действия. Но чтобы всякий раз не обращаться к определению, все произведения однозначных чисел записывают в особую таблицу, называемую таблицей умножения однозначных чисел, и запоминают.

Естественно, что смысл умножения сохраняется и для многозначных чисел, но меняется техника вычислений. Произведение многозначных чисел, как правило, находят, выполняя умножение столбиком, по определенному алгоритму. Выясним, каким образом возникает этот алгоритм, какие теоретические факты лежат в его основе.

Умножим, например, столбиком 428 на 263.

428

х263

1284

+2568

856

112564

Видим, что для получения ответа нам пришлось умножить 428 на 3, 6 и 2, т.е. умножить многозначное число на однозначное; но, умножив на 6, результат записали по-особому, поместив единицы числа 2 568 под десятками числа 1 284, так как умножали на 60 и получили число 25 680, но нуль в конце записи опустили. Слагаемое 856 -- это результат умножения на 2 сотни, т.е. число 85 600. Кроме того, нам пришлось найти сумму многозначных чисел.

Итак, чтобы выполнять умножение многозначного числа на многозначное, необходимо уметь:

умножать многозначное число на однозначное и на степень десяти;

складывать многозначные числа.

Сначала рассмотрим умножение многозначного числа на однозначное. Умножим, например, 428 на 3. Согласно правилу записи чисел в десятичной системе счисления, 428 можно представить в виде 4 * 102 + 2 * 10 + 8 и тогда 428 *

* 3 = (4 * 102 + 2 * 10 + 8) * 3. На основании дистрибутивности умножения относительно сложения получим: (4*3)* 102 + (2 * 3) * 10 + 8*3, а на основании свойства ассоциативности умножения: (4 * 102) * 3 + (2 * 10) * 3 + 8 * 3. Произведения в скобках могут быть найдены по таблице умножения однозначных чисел: 12 * 102 + 6 * 10 + 24. Видим, что умножение многозначного числа на однозначное свелось к умножению однозначных чисел. Но чтобы получить окончательный результат, надо преобразовать выражение 12 * 102 + 6 * 10 + 24 -- коэффициенты перед степенями 10 должны быть меньше 10. Для этого представим число 12 в виде 1 * 10 + 2, а число 24 в виде 2 * 10 + 4. Затем в выражении (1 * 10 + + 2) * 102 + 6 * 10 + (2 * 10 + 4) раскроем скобки: 1 * 103 + 2 * 102 + 6 *10 +

+ 2 *10 + 4. На основании ассоциативности сложения и дистрибутивности умножения относительно сложения сгруппируем слагаемые 6 * 10 и 2 * 10 и вынесем 10 за скобки: 1 * 103 + 2 * 102 + (6+ 2)- - 10 + 4. Сумма 6 + 2 есть сумма однозначных чисел, и может быть найдена по таблице сложения: 1 * 103 + 2 *

* 102 + 8 * 10 + 4. Полученное выражение есть десятичная запись числа 1 284, т.е. 428 * 3 = 1 284.

Таким образом, умножение многозначного числа на однозначное основывается на:

записи чисел в десятичной системе счисления;

свойствах сложения и умножения;

таблицах сложения и умножения однозначных чисел.

Выведем правило умножения многозначного числа на однозначное в общем виде. Пусть требуется умножить х = ап * 10 n + ап-1 * 10n-1 + ... + а0 на однозначное число у: х * у = (ап * 10 n + аn-1 * 10 n-1 + ... + а0) * у = (ап * у) * * 10 n + + (a n-1 * у) * 10 n-1 + ... + а0 * у, причем преобразования выполнены на основании свойств умножения. После этого, используя таблицу умножения, заменяем все произведения ак * у, где 0 < к < п, соответствующими значениями ак * у = bк * * 10 + с и получаем: х * у = (bп * 10 + сп) * 10 n + (b n-1 10 + + c n-1) * 10 n-1 + ... + (b1 * 10 + с1) * 10 + (b0 * 10 + с0) = bn * 10 n+1 + (сn + b n-1)* * 10 n + ... + (с1 + b0) * 10+ с0. По таблице сложения заменяем суммы ск + bк-1, где 0< к <пик = 0, 1, 2,…, n, и, их значениями. Если, например, с0 однозначно, то последняя цифра произведения равна с0. Если же с0 =10 + т0, то последняя цифра равна т0, а к скобке (с1 + b0) надо прибавить 1. Продолжая этот процесс, получим десятичную запись числа х * у.

Сформулируем в общем виде алгоритм умножения многозначного числа

х = апап-1 ...а1а0 на однозначное число у:

записывают второе число под первым;

умножают цифры разряда единиц числа х на число у. Если произведение меньше 10, то записывают его в разряд единиц ответа и переходят к следующему разряду (десятков);

если произведение цифр единиц числа х на число у больше или равно 10, то представляют его в виде 10q-1 + с0, где с0 -- однозначное число; записывают с0 в разряд единиц ответа и запоминают q1, -- перенос в следующий разряд;

умножают цифры разряда десятков на число у, прибавляют к полученному произведению число q1 и повторяют процесс, описанный в пп. 2 и 3;

процесс умножения заканчивается, когда окажется умноженной цифра старшего разряда.

Как известно, умножение числа х на число вида 10k сводится к приписыванию к десятичной записи данного числа к нулей. Покажем это. Умножим число х = аn * 10n + an-1 * 10 n-1 + ... + а0 на 10 k, т.е. (а n * 10 n + a n-1 * 10n-1 + ... + a0) * 10k = = аn * 10n+k + a * 10n+k-1 + ... + а0 * 10k. Полученное выражение является суммой разрядных слагаемых числа а n а n -1 ...a1 a 0, так как равно а n * 10 k+n + а n -1 *10n+k-1 + + ... + а0 * 10 k + 0 * 10 k-1 + 0 * 10k -2 + ... + 0 * * 10 + 0. Например, 347 * 103 = (3 *

* 102 + 4 * 10 + 7) * 103 = 3 * 105 + 4 * 104 + 7 * 103 = 3 * 105 + 4 * 104 + 7 * 103 + 0 * * 102 + 0 * 10 + 0 = 347 000.

Заметим еще, что умножение на число у 10 k, где у -- однозначное число, сводится к умножению на однозначное число у и на число 10 k. Например, 52 * * 300 = 52 * (3 * 102) = (52 * 3) * 102 = 156 * 102 = 15 600.

Рассмотрим теперь алгоритм умножения многозначного числа на многозначное. Обратимся сначала к примеру, с которого начинали, т.е. к произведению 428-263. Представим число 263 в виде суммы 2 * 102 + 6 * 10 + 3 и запишем произведение 428 * (2 * 102 + 6 * 10 + 3). Оно, согласно дистрибутивности умножения относительно сложения, равно 428 * (2 * 102) + 428 * (6 * 10) + 428 * 3. Отсюда, применив ассоциативное свойство умножения, получим: (428 * 2) *

* 102 + (428 * 6) * 10 + 428 * 3. Видим, что умножение многозначного числа 428 на многозначное число 263 свелось к умножению многозначного числа 428 на однозначные числа 2, 6 и 3, а также на степени 10.

Рассмотрим умножение многозначного числа на многозначное в общем виде. Пусть хиу -- многозначные числа, причем у = bт * 10т + bт-1 * 10m-1 + ... + + b0. В силу дистрибутивности умножения относительно сложения, а также ассоциативности умножения можно записать: х*у = х * (bт * 10m + + bm-1 *

* 10m-1 + ... + b0) = (х * bт) * 10т + (х * bт-1) * 10m-1 + ... + х * Ь0. Последовательно умножая число х на однозначные числа bт, bm-1, …, b0, а затем на 10 m, 10m-1, 1, получаем слагаемые, сумма которых равна х * у.

Приходим к алгоритму умножения числа х = апап-1 ... а1а0 на число

у = bт bт-1… b1 b0:

записывают множитель х и под ним второй множитель у;

умножают число х на младший разряд b0 числа у и записывают произведение х * b0 под числом у;

умножают число х на следующий разряд b1 числа у и записывают произведение х * b1, но со сдвигом на один разряд влево, что соответствует умножению х * b1, на 10;

продолжают вычисление произведений до вычисления х * bк;

полученные к + 1 произведения складывают.

Изучение алгоритма умножения многозначных чисел в начальном курсе математики, как правило, проходит в соответствии с выделенными этапами. Различия имеются только в записи. Например, при обосновании случая умножения многозначного числа на однозначное пишут: 428* 3 = (400 + 20 + + 8)* 3 = 400 *

* 3 + 20 * 3 + 8 * 3 = 1 200 + 60 + 24 = 1 284. Основой выполненных преобразований являются:

представление первого множителя в виде суммы разрядных слагаемых (т.е. запись числа в десятичной системе счисления);

правило умножения суммы на число (или дистрибутивность умножения относительно сложения);

умножение «круглых» (т.е. оканчивающихся нулями) чисел на однозначное число -- оно сводится к умножению однозначных чисел.

Алгоритм деления. Когда речь идет о технике деления чисел, то этот процесс рассматривают как действие деления с остатком: разделить целое неотрицательное число а на натуральное число b -- значит найти такие целые неотрицательные числа q и r, что а = bq + r, причем 0 < r < b.

Выясним сначала, как осуществляется деление на однозначное число. Если на однозначное число делят однозначное или двузначное (не превышающее 89), то используется таблица умножения однозначных чисел. Например, частным чисел 54 и 9 будет число 6, так как 9 6 = 54. Если же надо разделить 51 на 9, то находят ближайшее к нему меньшее число, которое делится на 9 -- это число 45, и, следовательно, неполным частным при делении 51 на 9 будет число 5. Чтобы найти остаток, надо из 51 вычесть 45, т.е. 51 - 45 = 6. Таким образом, 51 = 9 * 5 + + 6, т.е. при делении 51 на 9 получается неполное частное 5 и остаток, равный 6. Записать это можно иначе, с помощью деления уголком:

_51|_9

45 5

6

Будем теперь делить трехзначное число на однозначное, например, 378 на 4. Разделить 378 на 4 -- значит найти такое неполное частное q и остаток г, что 378 = 4q + r, причем остаток r должен удовлетворять условию 0 < r< b, а неполное частное q -- условию 4q < 378 < 4(q + 1).

Определим, сколько цифр будет содержаться в записи числа q. Однозначным число q быть не может, так как тогда произведение 4q может быть максимально равно 36 и, значит, не будут выполняться условия, сформулированные выше для r и q. Если число q двузначное, т.е. если 10 < q < 100, то 40 < 4q < 400 и, следовательно, 40 < 378 < 400, что верно. Значит, частное чисел 378 и 4 -- число двузначное.

Чтобы найти цифру десятков частного, умножим последовательно делитель 4 на 20, 30, 40 и т.д. Поскольку 4 * 90 = 360, а 4 * 100 = 400, и 360 < 378 < < 400, то неполное частное заключено между числами 90 и 100, т.е. q = 90 + q0. Но тогда должны выполняться неравенства: 4*(90 + q0) < < 378 < 4* * (90q + q0 + + 1), откуда 360+ 4q0 < 378 < 360 + 4(q0 + 1) и 4q0 < 18 < < 4(q0 + 1). Число

q0 (цифра единиц частного), удовлетворяющее последнему неравенству, можно найти подбором, воспользовавшись таблицей умножения. Получаем, что q0 = 4 и, следовательно, неполное частное q = 90 + 4 = 94. Остаток находится вычитанием: 378 - 4 * 94 = 2.

Итак, при делении числа 378 на 4 получается неполное частное 94 и остаток 2, т.е. 378 -4 * 94 + 2.

Описанный процесс является основой деления уголком:

_378|_4

36 94

_18

16

2

Аналогично выполняется деление многозначного числа на многозначное. Разделим, например, 4 316 на 52. Выполнить это деление -- значит найти такие целые неотрицательные числа q и r, что 4 316 = 52q + г, 0 < r < 52, а неполное частное должно удовлетворять неравенству 52q < 4 316 < < 52(q + 1).

Определим число цифр в частном q. Очевидно, частное заключено между числами 10 и 100 (т.е. q -- двузначное число), так как 520 < 4 316 < 5 200. Чтобы найти цифру десятков частного, умножим последовательно делитель 52 на 20, 30, 40, 50 и т.д. Поскольку 52 * 80 = 4 160, а 52 * 90 = 4 680 и 4 160 < 4 316 <

< 4 680, то неполное частное заключено между числами 80 и 90, т.е. q = 80 + q0. Но тогда должны выполняться неравенства:

52 * (80 + q0) < 4 316 < 52 * (80 + q0 + 1);

4 160 + 52 q0 < 4 316 < 4 160 + 52 * (q0+ 1);

52 q0 < 156 < 52 * (q0 + 1).

Числоq0 (цифру единиц частного), удовлетворяющее последнему неравенству, можно найти подбором: 156 = 52 * 3, т.е. имеем случай, когда остаток равен 0. Следовательно, при делении 4 316 на 52 получается частное 83.

Приведенные рассуждения лежат в основе деления уголком:

4316| 52

416 83

156

156

0

Обобщением различных случаев деления целого неотрицательного числа а на натуральное число b является следующий алгоритм деления уголком.

1) Если a = b, то частное q=1, остаток r = 0.

2) Если a>b и число разрядов в числах a и b одинаково, то частное q находим перебором, последовательно умножая b на 1,2,3,4,5,6,7,8,9, так как

a < 10b. Этот перебор можно ускорить, выполнив деление с остатком цифр старших разрядов чисел a и b.

3) Если a>b и число разрядов в числе а больше, чем в числе b, то записываем делимое а и справа от него делитель b, который отделяем от а уголком и ведем поиск частного и остатка в такой последовательности:

а) выделяем в числе а столько старших разрядов, сколько разрядов в числе b или, если необходимо, на один разряд больше, но так, чтобы они образовывали число d1, больше или равное b. Перебором находим частное q1 чисел d1 и b, последовательно умножая b на 1,2,3,4,5,6,7,8,9. Записываем q1 под уголком (ниже b);

б) умножаем b на q1 и записываем произведение под числом а так, чтобы младший разряд числа bq1 был написан под младшим разрядом выделенного числаd1;

в) проводим черту под bq, и находим разность r1=d1-bq1;

г) записываем разность r1 под числом bq1 , приписываем справа к r1 старший разряд из неиспользованных разрядов делимого а и сравниваем полученное число d2 с числом b.

д) если полученное число d2 больше или равно b , то относительно него поступаем согласно п.1 или п.2. Частное q2 записываем после q1.

е) если полученное число d2 меньше b , то приписываем еще столько следующих разрядов, сколько необходимо, чтобы получить первое число d3, большее или равное b . В этом случае записываем после q1 такое же число нулей. Затем относительно d3 поступаем согласно пп. 1,2. Частное q2 записываем после нулей. Если при использовании младшего разряда числа a окажется, что d3 < b, то тогда частное чисел d3 и b равно нулю, и этот нуль записывается последним разрядом к частному, а остаток r = d3 .