Площади плоских фигур в курсе геометрии основной школы

1.3 Анализ школьных учебников

Сравнительный анализ учебников будет проводиться как по теоретическому материалу, так и по задачному. Анализ по содержанию предлагаемого для изучения материала будет проводиться в трех аспектах:

Измерение площадей;

Вычисление площадей;

Метод площадей.

Может возникнуть вопрос, почему выбраны именно такие аспекты теории площадей. Выбор обоснован тем, что именно эти аспекты целиком охватывают теорию площадей. Измерение площадей и вычисление площадей подразумевают непосредственное (прямое) и опосредованное (косвенное) измерение площадей соответственно. Правда, первый аспект связан с практическим измерением площадей (с помощью палетки), а второй - с использованием формул. Последний же аспект охватывает область применения площадей, а именно, использование свойств площади при решении задач и доказательстве теоретических фактов, в формулировках которых площадь может даже не упоминаться.

Цели сравнительного анализа учебников:

Представлен ли каждый из указанных аспектов в учебнике?

Как представлен?

Для анализа были выбраны четыре учебника по геометрии, а именно: учебник А.В.Погорелова, учебник Л.С.Атанасяна и др., учебник И.Ф.Шарыгина и учебник коллектива А.Д.Александрова и др. Первые два выбраны потому, что их чаще всего используют в школе. Учебник И.Ф.Шарыгина интересен тем, что в нем достаточно полно и доступно раскрывается тема "Площади плоских фигур" и, кроме того, это единственный учебник, в котором рассматривается метод площадей. Учебник А.Д.Александрова и др. является своеобразным, нетрадиционным и, вообще, является учебным пособием для классов с углубленным изучением математики. И хотя в данном исследовании мы ограничились рассмотрением проблемы в общеобразовательных классах, учебник А.Д. Александрова был включен в анализ с целью выявления заданий для более сильных учеников, проявляющих интерес к математике.

Начнем с того, что тема "Площади плоских фигур" изучается во всех учебниках в разное время. У А.В.Погорелова эта тема рассматривается в самом конце 9 класса, т.е. при изучении этой темы повторяется весь курс планиметрии. В задачах же появляется новое задание: "найдите площадь", а остальные задания и условия были рассмотрены ранее. Хотелось бы отметить, что А.В.Погорелов объединил две темы "Площади многоугольников" и "Площадь круга" в одной главе: "Площади фигур". Мы ни в коем случае не беремся судить автора о правильности его выбора места для изучения этой темы, но, на наш взгляд, такое расположение не совсем удачно хотя бы потому, что он не может применить ее, а ведь с помощью площадей можно доказать множество геометрических фактов, решить интересные содержательные задачи.

У Л.С.Атанасяна и др. тема "Площади многоугольников" и "Площадь круга" изучаются в разное время, а именно: 8 класс и середина 9 класса соответственно.

У И.Ф.Шарыгина изучение этих тем идет в самом начале 9 класса, причем изучаются они неразрывно друг от друга. Мы считаем, что на эту тему автор, как и А.В.Погорелов, поставил задачу научить новому и повторить весь материал, пройденный ранее (и хорошо забытый за время летних каникул).

А.Д.Алексанлров и др. же эти темы рассматривает в самом начале 8 класса и изучается параллельно с остальными темами до конца 8 класса (темы "Площади многоугольников" и "Площадь круга" изучаются в разное время).

Во всех учебниках, кроме учебника А.В.Погорелова, введению понятия "площадь" предшествует рассмотрение жизненных примеров, что, вообще, необходимо при изучении математики. А данная тема является одной из тех тем, которые напрямую связаны с жизнью и которые наглядно демонстрируют применение математических знаний на практике. Тем более из курса математики 1-6 классов учащимся известно понятие "площадь", поэтому можно дать задание учащимся привести примеры самостоятельно. В этом смысле, учебник А.В.Погорелова несколько сух и не использует в достаточной степени потенциал учащихся.

Во всех учебниках понятие площади вводится аксиоматически, т.е. дается точное определение площади и перечисляются ее свойства, а у И.Ф.Шарыгина к тому же свойства представлены наглядно.

Что касается измерения площадей, то во всех учебниках этот вопрос затронут по-разному. У Л.С.Атанасяна и др. описывается процесс измерения площадей на примерах прямоугольника и трапеции, затем говорится, что на практике он неудобен, поэтому площадь вычисляют по определенным формулам, говорится также о единицах измерения площадей.

У А.В.Погорелова вообще не рассматривается вопрос об измерении площадей.

И.Ф.Шарыгин не рассматривает подробно измерение площадей. В учебнике рассматривается пример, в котором показывается, что единичный квадрат не единственная фигура с площадью 1.

У А.Д.Александрова и др. подробно рассмотрен процесс измерения площадей, а также подробно говорится о единицах измерения площадей (приводится пример перехода от одной единицы площади к другой).

Что касается вычисления площадей, то во всех учебниках представлено достаточно полное изложение этого аспекта теории площадей. Естественно, у каждого учебника есть свои особенности, вызванные построением курса самих учебников.

Итак, начнем с учебника А.В.Погорелова. Здесь представлены выводы основных формул для вычисления площадей фигур. В теории разобран ряд задач с решениями, таких как: вывод формулы Герона, формула для вычисления площади произвольного четырехугольника, формулы для радиусов вписанной и описанной окружностей треугольника: r=2S/(a+b+c) и R=abc/4S. Здесь же рассмотрены площади подобных фигур, а также площади круга и его частей: кругового сектора и кругового сегмента. Хотелось бы отметить, что такой порядок изложения материала обосновывается тем, что тема "Площади фигур" у А.В.Погорелова завершает курс 9 класса.

Что касается учебника Л.С.Атанасяна и др., то он значительно полнее рассматривает теорию площадей, нежели А.В. Погорелов. В этом учебнике доказывается, что площадь квадрата со стороной a равна a², доказывается теорема об отношении площадей треугольников, имеющих по одному равному углу. Эта теорема является следствием теоремы о площади треугольника (площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту) и играет важную роль при изучении подобия треугольников. Затем доказывается с помощью свойств площадей теорема Пифагора, здесь же приводится историческая справка. На формуле Герона внимание не заостряется - она вынесена со своим выводом в задачи на закрепление. Уже в 9 классе, когда дети ознакомились с элементами тригонометрии, доказывается формула для вычисления площади треугольника (по двум сторонам и углу между ними), приводятся формулы для вычисления площади правильного многоугольника, формулы для вычисления площади круга и кругового сектора (круговой сегмент не рассматривается). Учебник также знакомит учащихся с задачей о квадратуре круга, и вообще, содержит интересные исторические справки, которые не только вызывают интерес школьников к изучаемому материалу, но и полезны для общего развития детей.

В учебнике И.Ф.Шарыгина традиционно рассматриваются формулы для вычисления площадей прямоугольника, параллелограмма, трапеции и несколько нестандартных формул для вычисления площади треугольника. Формула Герона рассмотрена с двумя своими доказательствами, автор не обошел стороной и формулу для вычисления площади произвольного четырехугольника. Здесь же доказывается теорема об отношении площадей подобных фигур (это оказалось возможным потому, т.к. тема "Подобие" изучена в 8 классе). Следом выводятся формулы площади круга, кругового сектора и сегмента. Здесь же рассмотрена задача о квадратуре круга. Вообще, этот учебник отличается полным, понятным и интересным изложением материала, здесь также приведены интересные исторические факты.

У А.Д.Александрова и др. также рассматриваются формулы для вычисления площадей различных четырехугольников, треугольников, круга, кругового сектора и даже кольца, но из-за особенностей самого учебного пособия, соответствующие формулы для вычисления площади той или иной фигуры приводятся не все сразу, а только тогда, когда для их вывода подготовлена основа. Например, сначала приводится только одна формула для вычисления площади треугольника S=, после введения теоремы Пифагора и как одно из ее применений рассмотрена формула Герона. После рассмотрения темы "Синус" приводится формула для вычисления площади треугольника по двум сторонам и углу между ними.

Кроме того, здесь представлена задача о квадратуре круга и изопериметрическая задача. Вообще, хотелось бы отметить полноту излагаемого материала в данном учебном пособии, его высокий теоретический уровень, который предназначен для классов с углубленным изучением математики, учебник содержит также некоторые сведения из истории геометрии. Метод площадей рассматривается только в учебнике И.Ф. Шарыгина. Здесь ему отведен целый раздел (который так и называется), в котором рассматриваются задачи с его применением, приведены задачи для самостоятельного решения. В других учебниках об этом методе даже не упоминается. Хотя у Л.С. Атанасяна и др., например, с помощью метода площадей доказывается первый признак подобия треугольников, а у А.Д. Александрова и др. с помощью этого метода доказывается теорема Пифагора. Итак, мы рассмотрели все четыре учебника, и убедились в том, что каждый из них имеет свои особенности, свои достоинства и недостатки. Главным недостатком всех рассматриваемых учебников является то, что ни в одном из них полностью все три аспекта площадей не отражены. У А.В.Погорелова нет ни измерения площадей, ни метода площадей. У Л.С.Атанасяна и др. и А.Д.Александрова и др. достаточно полно отражены только два аспекта: измерение площадей и вычисление площадей. Не упоминая о методе площадей, авторы применяют понятие площадь при доказательстве различных теорем и решении задач, в формулировках которых отсутствует упоминание о площади. По сравнению с остальными учебниками, только в учебнике И.Ф.Шарыгина в названии параграфа присутствует название непосредственно самого метода площадей. Автор в полной мере рассматривает метод площадей, вычисление площадей, но недостаточно подробно останавливается на измерении площадей.

При анализе задач по теме "Площади плоских фигур", приведенных в рассматриваемых учебниках можно сделать следующие выводы: в учебнике А.В.Погорелова в основном задачи на вычисление площадей многоугольников, круга и его частей, причем нет разделения задач по уровням сложности. В учебнике Л.С.Атанасяна и др. помимо основных задач, приводимых в конце каждого параграфа темы, предлагается множество дополнительных задач по данной теме, кроме того, в конце учебника авторами предложены задачи повышенной трудности. В основном, большинство из этих задач - задачи на вычисление площадей, но помимо этих задач присутствуют задачи и на измерение площадей, и на метод площадей, а также различные задачи на равновеликость фигур и тд. Учебники же И.Ф.Шарыгина и А.Д.Александрова кроме вышеуказанных задач содержат интересные задачи на разрезание и перекраивание, а также задачи по готовым чертежам. Кроме того, в этих учебниках задачи рассматриваются не только на плоскости, но и на пространственных объектах. Задачи разделены по уровням сложности. Хотелось бы отметить, что во всех учебниках присутствуют задачи практического содержания. И это важный положительный момент, ведь решая прикладные задачи на уроках математики, учащиеся видят жизненную необходимость тех или иных теорем, понятий, формул, что способствует более глубокому изучению основ геометрии как математической науки.

1.4 Психолого - дидактические основы обучения по теме "Площади фигур"

Для успешного преподавания математики каждому учителю необходимо учитывать возрастные особенности школьников. Осуществление дидактических принципов обучения также является условием успешного обучения. Рассмотрим подробнее важнейшие дидактические принципы обучения математике с учетом специфики темы "Площади фигур".

Принцип сознательности

Ни одно явление не может быть понято, если взять его в изолированном виде, вне связи с окружающими явлениями. Сознательно усвоить материал - значит понять его связь с окружающим миром, проникнуть в сущность взаимоотношений между фактами, выводами, понятиями. Ученик, сознательно изучивший предмет, должен уметь применять полученные знания на практике. При изучении темы "Площади фигур" следует обратить внимание учеников, что с площадями различных плоских фигур они ежедневно сталкиваются в реальной жизни(например, площадь квартиры, дачного участка), в природе, в стоительстве, искусстве, а также в других изучаемых ими школьных дисциплинах, будь то география, физика и т.д. После этого школьники будут более сознательно воспринимать данную тему: знание, для чего изучаем, способствует пониманию того, что изучаем.

Ученик, сознательно усвоивший математику, должен не только видеть связь между изучаемым материалом и окружающей действительностью, но и понимать, что факты, понятия и свойства, рассматриваемые в математике, не изолированы друг от друга, а представляют стройную систему, каждое звено которой находится в связи с другими звеньями. Добиться такого усвоения математики можно, если учитель сам будет чаще раскрывать эти связи, обращая на них внимание учащихся перед изучением темы или раздела, в процессе изучения, при повторении.

Понять связь между изучаемым помогают таблицы и схемы. В таблицах и схемах может быть дана классификация пройденного материала, представлена его структура.

Например, для систематизации знаний учащихся в завершении изучения темы "Площадь треугольника" можно предложить учащимся составить следующую таблицу:

Сознательность усвоения учащимися учебного материала зависит, конечно и от объяснения учителя. Объяснение должно быть четким: необходимо пояснять непонятные учащимся термины, привести разъясняющие примеры. О степени сознательности решения задач можно судить по тому, насколько ученик умеет обосновать выбор действий, составляющих ход решения. Необходимо, чтобы решая задачу, ученик отправлялся не только от данных - это часто приводит к тому, что он не знает, какой результат в конечном счете дадут выбранные им действия но имел бы в виду и искомую величину. Чтобы достигнуть этого, надо практиковать составление плана решения, применяя аналитический метод рассуждения (следуя от неизвестного к известному). Рассуждая синтетически, ученик оформит решение. Для примера рассмотрим следующую задачу:

Задача: Найти площадь квадрата по его диагонали.

Применим в данной задаче аналитический метод рассуждения для нахождения способа ее решения:

Решение: Пусть ABCD-данный квадрат (рис. 5), а BD = d - его диагональ. Найдем площадь этого квадрата.

Учителю уместно задать следующие вопросы:

- О какой фигуре идет речь в условии задачи?

- Что известно о данной фигуре?

- Как можно найти площадь квадрата?



Итак, получили схему, в которой все неизвестные величины задачи выражены через известные. Поднимаясь снизу вверх по этой схеме, учащиеся могут оформить решение задачи (используя синтетический метод). Таким образом данная задача решена аналитико-синтетическим методом. Желательно после этой задачи с целью закрепления полученного результата (формулы для вычисления площади квадрата по его диагонали) предложить учащимся решить аналогичную задачу при конкретном числовом значении d. Можно сказать, что данная задача относится к числу задач на разрушение стереотипа, ведь учащиеся считают, что для нахождения площади квадрата необходимо знать его сторону. А приведенная выше задача показывает, что площадь квадрата можно найти зная лишь диагональ квадрата.

Сочетание анализа и синтеза при разборе и оформлении решения задачи благотворно сказывается на процессе мышления школьников. Именно, решая задачу самостоятельно, он будет исходить одновременно из данных и от искомого. Это будет способствовать сознательному выбору действий, составляющих ход решения. Сказанное выше относится и к доказательству теорем: сочетание анализа и синтеза при составлении плана доказательства (анализ) и его окончательном оформлении (синтез) будет способствовать сознательному усвоению доказательства, проведению доказательства аналитико-синтетическим методом.

Критерием сознательности является и речь учащихся. Неточные формулировки свидетельствуют о непонимании материала и нередко выражают ошибочные утверждения. Например, ученик, пропустивний слова: "проведенную к этой стороне" в формулировке теоремы "Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту, проведенную к этой стороне" делает неверное заключение. Учителю следует воспользоваться такого рода ошибкой, чтобы обратить внимание учащихся на значение точности речи.

Принцип наглядности

В преподавании математики нагдядность применяется как средство, способствующее правильному формированию математических понятий, облегчающее изучение материала, развивающее пространственные представления и воображение учащихся. Наглядность - основа прочности знаний.

При решении задач и доказательстве теорем учащиеся рассматривают геометрические фигуры в самых разнообразных положениях. Если учитель, вводя понятие, не вариировал форму и размеры чертежа, а также его положение на доске, то учащиеся не узнают определенный геометрический образ, когда он изображен в непривычном для них положении. Аналогичная ситуация происходит при замене одних обозначений другими. В этих случаях многие учащиеся испытывают некоторые затруднения при использовнии формул для вычисления площадей фигур и т.д. Эти затруднения можно предотвратить, если при введении понятия не ограничиваться построением одного чертежа.

Наглядность в обучении математике выступает как средство, облегчающее изучение материала. Материал легче усваивается учащимися, когда объяснение учителя сопровождается применением наглядных пособий. В геометрии, например, чертеж помогает ученику провести рассуждения при доказательстве теоремы, так как отдельные этапы доказательства ученик может связать с наглядными геометрическими образами. В процессе построения надо обратить внимание учащихся на особенности чертежа, вытекающие из условия теоремы (задачи). Правильно выполненный чертеж помогает понять содержание задачи (теоремы) и найти способ ее решения (доказательства). Полезен следующий прием.

Общий прием построения чертежа по условию задачи (теоремы)

Выполняйте чертеж аккуратно, не обязательно по всем правилам черчения, но примерно их придерживаясь (прямой угол должен выглядеть прямым углом, середина отрезка - серединой и т.п.), большим и "просторным";

Не перегружайте чертеж; иногда полезно изобразить лишь "функционирующие" части геометрической фигуры (например, если нужно найти радиус окружности, то саму окружность целиком можно не изображать);

Уточняйте чертеж по мере решения задачи, пытайтесь изобразить все возможные конфигурации, отвечающие условию и ходу решения задачи (лишние потом можно отбросить);

Например, к задаче "доказать, что R - радиус описанной около треугольника окружности равен , где a, b, c - длины сторон данного треугольника" возможны следующие варианты выполнения чертежа (рис.6):

Рис. 6

Используйте дополнительные построения, облегчающие решение (вводящие новые углы, отрезки и т.п.);

В то же время избегайте чрезмерного усложнения чертежа; этого можно достигнуть за счет "выносных чертежей", изображающих отдельные фрагменты всей фигуры;

Полезно непосредственно на чертеже указывать известные числовые и буквенные значения величин (отрезков, углов), заданных в условии или полученных в процессе решения;

Если в задаче говорится о фигурах общего вида (например, о произвольном треугольнике, четырехугольнике и т.п.), то нельзя изображать их как частные случаи (так, произвольный треугольник не должен выглядеть прямоугольным или равнобедренным, а произвольный четырехугольник - параллелограммом и т.п.).

Такое ошибочное выполнение чертежа приводит к построению неверных гипотез и умозаключений.

Важно помнить, что правильно выполненный чертеж помогает понять условие теоремы, выдвинуть гипотезу о ее доказательстве, но ни в коем случае не является самим доказательством.

Говоря о значении наглядности как средстве, облегчающем усвоение материала, следует подчеркнуть, что всякая переоценка роли наглядных пособий может принести даже вред развитию мышления и воображения учащихся. Так, пространственное воображение учащихся будет развиваться слабее, если решение каждой задачи и доказательство каждой теоремы учитель станет разъяснять на модели. Поэтому преподаватель должен в зависимости от конкретного материала и уровня развития учащихся решить вопрос, пользоваться наглядными пособиями или нет. Здесь можно лишь посоветовать учителю постепенно приучать учеников старших классов решать некоторые задачи, не пользуясь чертежом.

Например, совсем необязательным является выполнение чертежа в следующих задачах:

- Найти стороны прямоугольника, площадь которого равна 144 ед.², а стороны относятся как 4:9;

- Найти сторону ромба, зная, что его диагонали относятся как 1:2, а его площадь равна 12 см²;

- В треугольнике со сторонами 8 см и 4 см, проведены высоты к этим сторонам. Высота, проведенная к стороне 8 см, равна 3 см. Чему равна высота, проведенная к стороне 4 см?

Наглядность при обучении математике не следует сводить к показу учащимся только заранее изготовленных пособий. Необходимо, чтобы в восприятии участвовали не только органы зрения, но и органы осязания. Необходимо, чтобы учащиеся сами изготовливали модели, измеряли, чертили. В начале изучения темы "Площади фигур" полезно предложить ученикам изготовить индивидуальные палетки, а по ее завершении - изготовить плакаты - памятки, с формулами для вычисления площадей различных плоских фигур. (См. игру "Математическое домино".) При ознакомлении с пространственными телами в младших классах средней школы, полезно в качестве домашнего творческого задания предложить ребятам сделать развертку цилиндра. Выполняя это задание, они подмечают, что площадь полной поверхности цилиндра состоит из площади двух кругов и площади прямоугольника. Окончательные выводы следует сделать на следующем же уроке под руководством учителя. Подобные упражнения готовят учащихся к практической деятельности, стимулируют познавательную активность школьников.

Принцип систематичности

Принцип систематичности обучения выражает необходимость обучать основам наук в строго определенной последовательности. Недопустимо такое положение, когда учитель при объяснении опирается на материал, еще неизвестный учащимся, пользуется терминами, смысл которых не ясен учащимся, ссылается на еще недоказанные теоремы. Новые выводы должны получаться как логическое развитие ранее изученных положений.

Осуществляя принцип систематического обучения, учитель должен учитывать познавательные особенности учеников и прежде всего особенности восприятия школьников. Из общей системы фактов и предложений, сообщенных учителем, учащиеся могут не уловить некоторых звеньев, важных для понимания всего дальнейшего материала, что в конечном счете приводит к непониманию всего материала в целом. Например, формула для вычисления площади треугольника, выраженная через две стороны этого треугольника и синус угла между ними, в учебниках А.В. Погорелова и И.Ф. Шарыгина вводится вместе с остальными формулами вычисления площади треугольника, так как к моменту изучения этой темы учащиеся уже знакомы с понятием синуса угла. А в учебнике Л.С. Атанасяна и других эта формула появляется после изучения темы "Площади многоугольников", только тогда, когда учащиеся познакомятся с понятием синуса угла.

Прорыв в усвоении может наступить и тогда, когда некоторые из ранее изученных сведений, необходимых для понимания нового материала, окажутся забытыми учащимися. Отсюда очевидна необходимость повторения. Этап актуализации знаний учащихся является важной составляющей практически каждого урока математики, успешное проведение которого обеспечивает понимание учащимися нового материала. Благодаря повторению, устанавливается связь между новым и уже изученным материалом.

Успех в решении задач "на площади" определяется не количеством, а правильным выбором базовых задач, обеспечивающих достижения базового уровня обучения, и опорных задач, т.е. задач, результат которых либо метод решения используется при решении других задач по данной теме. Примерами опорных задач "на площади" могут служить следующие задачи:

Задача: Докажите, что площадь треугольника не изменится при передвижении вершины треугольника по прямой, параллельной основанию.

Задача: Докажите, что медиана разбивает треугольник на два равновеликих треугольника, т.е. на два треугольника, площади которых равны.

Осуществление принципа систематического обучения предлагает не только систематичность изложения, но и систематичность изучения материала учащимися. Поэтому учитель должен требовать, чтобы школьники следили за объяснением, готовили домашние задания, не пропускали уроков и со всеми непонятными вопросами обращались к преподавателю. Учитель должен регулярно проверять наличие выполненных домашних работ всех учащихся, отмечая для себя типичные ошибки, возникающие у школьников при решении домашних задач. Разбор типичных ошибок учашихся на уроках предотвратит их появление в дальнейшем решении задач по данной теме.

Несистематическое изучение материала учащимися все еще является одной из основных причин неуспеваемости по математике. Пробелы в знаниях учеников порой носят такой серьезный характер, что ставят под угрозу возможность успешного изучения предмета. В этих случаях необходимо оказать школьнику индивидуальную помощь.

Принцип доступности

Осуществление принципа доступности обучения неразрывно связано с выполнением таких правил в обучении: как следовать от легкого к трудному, от известного к неизвестному, от простого к сложному, от частного к общему.

Дидактическое правило "следовать в обучении от известного к неизвестному" связано с осуществлением принципа систематического обучения. Об этом уже говорилось выше. Перейдем к рассмотрению правила: "вести обучение от частного к общему". Для примера рассмотрим следующую задачу:

Задача: Постройте треугольник, равновеликий данному четырехугольнику. Для ее решения полезно рассмотреть более частную задачу.

Задача: Постройте треугольник, равновеликий данному параллелограмму.

Анализ условия задачи приводит к следующему способу ее решения: удвоить высоту параллелограмма, оставив без изменения его основание (удвоить основание параллелограмма, оставив без изменения высоту). Реализация этого способа показана на рис. 7.