Методика изучения комплексных чисел в общеобразовательной школе

дипломная работа

1.1 Элементы истории возникновения и становления теории комплексных чисел

Человечество всегда сталкивалось с проблемами неразрешимости каких - либо задач и искало, иногда успешно, иногда нет, пути их решения. Например, в математике, для того чтобы любое уравнение имело корни, положительных чисел оказалось недостаточно и за два века до н.э. китайскими математиками были введены отрицательные числа. Отрицательные числа помогли описывать единым образом изменение величин.

Для решения уравнений вида потребовалось введение дробных чисел. Известно, что за два тысячелетия до н.э. в Древнем Египте и Древнем Вавилоне уже применялись дроби [10]

В VIII веке нашей эры было установлено, что квадратный корень из положительного числа имеет два значения - положительное и отрицательное, и то, что из отрицательных чисел квадратные корни извлечь нельзя: нет, например, такого числа , чтобы выполнялось равенство . В XVI веке в связи с изучением кубических уравнений оказалось необходимым научиться извлекать квадратные корни из отрицательных чисел. В 1545 году итальянский математик Д. Кардано (1501 - 1576) предложил ввести числа новой природы. Он показал, что система уравнений , не имеющая решений в множестве действительных чисел, имеет решение всегда, при , нужно только условиться действовать над такими выражениями по правилам обычной алгебры и считать, что [28]. Кардано называл такие величины «чисто отрицательными» и даже «софистически отрицательными», считая их бесполезными, и стремился не применять их, ведь с помощью таких чисел нельзя выразить ни результат измерения какой-нибудь величины, ни изменение этой величины. Но уже в 1572 г. вышла книга итальянского алгебраиста Р. Бомбелли (ок. 1526 - 1572), в которой были установлены первые правила арифметических операций над такими числами, вплоть до извлечения из них кубических корней. Далее комплексные числа применялись в различных вопросах алгебры, но практических применений пока не имели. Название «мнимые числа» ввел в 1637г. французский математик и философ Рене Декарт [35].

Вообще математики XVI в. и следующих поколений вплоть до начала XIX века относились к комплексным числам с явным недоверием и предубеждением. Они считали эти числа «мнимыми» (Рене Декарт), «несуществующими», «вымышленными», «возникшими от избыточного мудрствования» (Д. Кардано) [10]. Г. Лейбниц называл эти числа «изящным и чудесным убежищем божественного духа», а считал символом потустороннего мира (и даже завещал начертать его на своей могиле).

Многие ученые этого периода пытались интерпретировать комплексные числа на прямой линии и применять к таким понятиям, как например, температура, время и др., не требующим плоскостного изображения [28].

Позднее, Л. Эйлер (1707 - 1783) ввел в математику символ , где ( - это первая буква латинского слова imaginarius, что значит «мнимый», «воображаемый») [10].

Также Л. Эйлером была выведена формула , которая впоследствии была названа его именем, хотя до Эйлера этой формулой владел английский математик Р. Котес (1682 - 1716) [35]. Эта формула позволила:

· доказать периодичность экспоненциальной функции;

· вывести логарифмы комплексных чисел.

Более строгую теорию нового множества чисел, которые были названы комплексными, развил немецкий ученый Карл Гаусс (1777 - 1855), который также дал их геометрическое толкование, позволившее преодолеть многие трудности в их понимании. Хотя до Гаусса геометрическое толкование встречается у датского землемера К. Веселя (1745 - 1818) и французского математика Аргана (1768-1822). К. Гаусс в 1831 году дал глубокое обоснование комплексных чисел и их приложений в математике. После того как появилось наглядное геометрическое изображение комплексных чисел с помощью точек плоскости и векторов на плоскости (Гаусс в 1831 г, Вессель в 1799 г, Арган в 1806 г), стало возможным сводить к комплексным числам и уравнениям для них многие задачи естествознания, особенно гидро- и аэродинамики, электротехники, теории упругости и прочности, а также геодезии и картографии. С этого времени существование «мнимых» или комплексных чисел стало общепризнанным фактом и они получили такое же реальное содержание, как и числа действительные.

В XIX веке О. Коши (1789-1857), Г. Риман (1826-1866), и К. Вейерштрасс (1815-1897) на базе комплексных чисел создали новую математическую дисциплину - теорию функций комплексного переменного, которая играет важную роль в современной математике [28].

С развитием науки и техники становилось все более ясным, что без комплексных чисел нельзя обойтись во многих практических делах. Широкое применение нашли комплексные числа в электротехнике, гидродинамике, картографии, в теории самолета и многих других отраслях. Большой вклад в развитие теории функций комплексного переменного внесли российские и советские ученые: Р.И. Мусхелишвили занимался ее приложениями к теории упругости, М.В. Келдыш и М.А. Лаврентьев - к аэродинамике и гидродинамике, Н.Н. Боголюбов и В.С. Владимиров - к проблемам квантовой теории поля. Сейчас трудно указать область физики, механики, технических дисциплин, где не применялись бы комплексные числа [35].

Следует отметить, что комплексные числа имеют большое познавательное и практическое значение. Их изучение в курсе математики средней общеобразовательной школы является весьма актуальным [10].

Делись добром ;)