1.2 Методика введення математичних понять на уроках математики
Відомий французький математик Фреше справедливо зауважує: «Якщо що-небудь дійсно необхідно, так це знищення догматичного методу; не давати ніяких визначень, не вказавши, як вони виникли, для чого вони потрібні, як вони застосовуються». При введенні математичних понять у шкільному навчанні корисно керуватися наступною схемою, що, однак, повинна бути динамічної, скорочуватися або доповнюватися залежно від обєктивно мінливих умов навчання (складу класу, характеру математичних понять і т.п.).
При введенні понять органічно повязаних із уже відомими учнем поняттями можна застосувати інший шлях, називаний дедуктивною-дедуктивним-абстрактно-дедуктивним.
Так, наприклад, поняття квадратного рівняння можна ввести в такий спосіб:
1. Дати визначення нового поняття (рівняння виду ах2 + bх + з = 0, де a?0 називається квадратним), мотивуючи його термін, що позначає (найбільший показник ступеня невідомого дорівнює двом; рівняння містить квадрат невідомого).
2. Розглянути частки (і особливі) випадки вираження цього поняття (х2+ рх + з = 0, ах2 + з = 0, ах2 + bх = 0, ах = 0), провівши своєрідну класифікацію цього поняття.
Привести деякі контр приклади цього поняття (запитати, наприклад, учнів, чи буде рівняння виду bх + з = 0 неповним квадратним рівнянням).
3. Ілюструвати уведене поняття конкретними прикладами (х2 - 5х + 6 = 0, Зх2 - 27 = 0 і т.д.), щораз перевіряючи, чи задовольняє кожне з конкретних проявів цього поняття його визначенню.
4. Привести конкретні приклади додатка цього поняття (наприклад, відому формулу S=qt2/2 можна розглядати як квадратне рівняння qt2 - 2S = 0; використовувати квадратне рівняння при рішенні текстових задач).
Індуктивний метод знаходить більше застосування в молодших класах; у старших класах частіше застосовують абстрактно-дедуктивний метод.
Засвоєння учнями деякого математичного поняття припускає, поряд із чітким уявленням про його обєм і зміст, уміння застосовувати це поняття в процесі своєї математичної діяльності, а також здатність до актуалізації основних факторів, що ставляться до даного поняття.
Застосовуючи те або інше математичне поняття при доказі яких-небудь теорем і рішенні задач, важливо вміти виявляти дане поняття в тих випадках, де воно виступає в більш-менш схованій формі.
Зокрема, при засвоєнні багатьох геометричних понять велике значення має вміння «дізнаватися» це поняття в більше складному або незвично розташованому кресленні.
У звязку із цим досить корисні вправи «по готових кресленнях». Так, наприклад, після ознайомлення з поняттям «рівнобедрений трикутник» учнем можна запропонувати наступну серію вправ:
1. За допомогою окомірної оцінки (а потім, підтвердивши цю оцінку виміром) установити, які із трикутників, зображених на малюнку 5.
2. Назвіть і покажіть у кожному рівнобедреному трикутнику підстава й бічні сторони.
3. Назвіть і покажіть у кожному з них кути при підставі й кут при вершині.
На етапі актуалізації знань при вивченні деякого поняття доцільно виділити серію ситуацій, наявність яких досить для виникнення даного поняття.
Так, наприклад, вивчивши в курсі математики 5 - 6 класів поняття про рівність величин кутів, варто звернути увагу учнів на те, що величини кутів рівні, якщо:
а) кути симетричні відносно прямій;
б) кути виходять один з іншого паралельним переносом на даний відрізок;
в) дані кути є кутами при підставі рівнобедреного трикутника або кутами рівностороннього трикутника;
г) кути виходять один з іншого поворотом навколо даної крапки на даний кут і т.д.
Цю роботу варто проводити планомірно протягом усього року (а може бути, і декількох років) навчання; список таких ситуацій, повязаних з основними поняттями, може й повинен бути продовжений.
При оволодінні поняттями в учнів нерідко виникають різні утруднення й помилки.
Почнемо з розгляду помилок, які можуть зявитися при визначенні понять, і вкажемо деякі причини їхнього виникнення.
Насамперед, варто чітко показати учнем розходження, повязане з використанням тих або інших понять у визначенні деякого нового поняття. Поняття, що відповідає обумовленому обєкту, називається обумовленим; поняття, за допомогою якого розкривається зміст обумовленого обєкта, називається визначальної. Так, наприклад, у визначенні «Множина, що складається із двох різних крапок і всіх крапок, що лежать між ними, називається відрізком», поняття «відрізок» - обумовлене поняття, а поняття «множина крапок» - одне з визначальних понять.
Якщо це розходження не усвідомлюється учнями, то визначення понять часто дається ними стилістично неправильно.
Основні помилки учнів при формулюванні визначень викликані недотриманням сталих у логіку «правил визначення», при виконанні яких це розходження також відіграє більшу роль. Перелічимо найважливіші із цих «правил».
1) Усяке визначення повинне бути розмірним, тобто обєм обумовленого поняття повинен бути дорівнює обєму визначального поняття.
Наприклад, визначення «Ромб є паралелограм, у якого дві суміжні сторони рівні між собою» відповідно до, тому що обєм поняття «ромб» дорівнює обєму поняття «паралелограм із двома рівними суміжними сторонами» (множини, що визначають обєми цих понять, збігаються).
Порушення цього правила веде до помилок двоякого роду:
а) Обєм визначального поняття ширше обєму обумовленого поняття. У цьому випадку обумовлене поняття ставиться до визначального, як вид до роду. Наприклад: «Діаметр окружності є відрізок прямій, що зєднує дві крапки окружності». Тут по суті визначена хорда - більше широке поняття, чим діаметр (в обєм визначального поняття входять всі хорди окружності).
Ця помилка у визначенні даного поняття виникає тому, що ознака видової відмінності («зєднувати дві крапки окружності») належить не тільки діаметрам, але й всім хордам взагалі, а тому за допомогою його не можна відрізнити діаметри від інших відрізків прямих, що зєднують крапки окружності.
Таке визначення в логіку називається занадто широким.
Щоб учні зрозуміли цю помилку, бажано розглянути з ними динамічний малюнок або діафільм «Окружність і коло»
б) Обєм визначального поняття вже обєму обумовленого поняття. Останнє ставиться до першого як рід до виду.
Як приклад розглянемо наступне визначення: «Ромбом називається прямокутнику двома конгруентними суміжними сторонами». Тут по суті визначений квадрат (більше вузьке поняття, чим ромб). Ця помилка у визначенні даного поняття виникає тому, що зазначена видова ознака (прямокутник - паралелограмі двома конгруентними суміжними сторонами) належить лише підмножині множини ромбів, квадратам, тобто є відмітним лише для частини множини ромбів. Таке визначення в логіку називається занадто вузьким.
2) Визначення не повинне містити в собі «порочного кола», тобто не можна будувати визначення так, щоб обумовлене поняття визначалося (схованим або явно) за допомогою того ж самого обумовленого поняття.
Порушення цього правила також веде до помилок двоякого роду:
а) Обумовлене поняття характеризується таким визначальним поняттям, зміст якого стає ясним лише за допомогою самого обумовленого поняття.
Так, наприклад, визначення «додавання є дія знаходження суми» і «сумою називається результат додавання» містять у собі такий «порочне коло». Визначальне поняття суми в цьому випадку не може бути визначене незалежно від обумовленого поняття - поняття додавання.
б) Обумовлене й визначальне поняття по змісту тотожні, хоча можуть бути виражені в різних словах.
Таке визначення зветься тавтології.
Наприклад, «прямий кут - це кут в 90°», або «Прямим кутом називається кут, сторони якого перпендикулярні».
Отже, у цих помилкових визначеннях сутність обумовленого обєкта не розкривається; у визначальному понятті повторюється те, що вже відомо про обумовлене поняття.
3) Визначення по можливості не повинне бути негативним. Це означає, що варто уникати таких визначень, яких видова відмінність виступає як негативне поняття.
Іноді в математику все-таки використовують «негативні» визначення, зокрема, якщо в них вказуються ознаки, що не належать певному поняттю.
Однак у процесі навчання математику такі визначення небажані, оскільки вони майже не розкривають змісти поняття, його істотних властивостей, а вказують лише на ті властивості, які не повинні мати обумовлені поняття.
Якщо при введенні нового поняття обмежитися тільки формулюванням його визначення й ілюстрацією цього поняття тільки одним прикладом, узятим з підручника, не показуючи його наочні моделі, то учні нерідко засвоюють такі поняття неправильно. В учнів це найчастіше проявляється в спробі незаконних узагальнень поняття (узагальнень по несуттєвих ознаках) і змішанні істотних ознак з несуттєвими. Типовою помилкою такого роду є, наприклад, не дізнавання учнями знайомої геометричної фігури, якщо та має незвичну форму або положення на площині.
Зокрема, учні не «довідаються» рівнобедрений трикутник, даний у положенні, зазначеному на малюнку 6, а зазнають більших труднощів у встановленні пар подібних трикутників у ситуації, зображеної на малюнку 6, б и т.п.
Велике значення для свідомого засвоєння учнями найважливіших математичних понять має система цілеспрямованих усних питань і вправ, наприклад, таких:
1. Знайдіть помилку в наступних визначеннях (уточните кожне із цих визначень):
а) рівносильними рівняннями називаються такі два рівняння, коли корінь першого рівняння є коріннями другого;
б) пряма, що ділить сторону трикутника навпіл, називається медіаною;
в) відрізок, що зєднує середини двох сторін трикутника й рівний половині третьої сторони, називається середньою лінією трикутника.
2. Приведіть приклади, що вказують на недостатність наступних визначень:
а) дотичній до кривої називається пряма, що має із кривій тільки одну загальну крапку.
б) якщо відстань від будь-якої крапки однієї лінії L1 до інший L2 усюди однаково, те такі лінії називаються паралельними і т.д.
Отже, у процесі введення й вивчення в школі математичних понять корисно:
1) не вводити нових понять формально; детально конкретизувати нові абстрактні поняття; по можливості застосовувати конкретно-індуктивний метод;
2) уводити поняття найбільш природним для учнів шляхом; по можливості, варто частіше залучати учнів до самостійного вивчення й визначення розглянутого поняття;
3) мотивувати поняття, терміни, визначення; не допускати в уявленні довільність введення нових понять;
4) у процесі вивчення нових понять корисно виявити звязки нового поняття із уже відомими поняттями; указувати на аналогію в характеристиці нових понять і понять відомих;
5) на кожному уроці корисно повторювати визначення відомих учнем найважливіших математичних понять, повязаних з поняттями, розглянутими на даному уроці, вимагаючи в той же час не стільки запамятовування визначень понять напамять, скільки правильної передачі сутності визначення даного поняття;
6) при оволодінні учнями тими або іншими математичними поняттями строго стежити за мовою учнів, вимагати чіткості, стислості й строгості у формулюваннях визначень. Варто мати на увазі, що «профілактика» помилок ефективніше їхнього виправлення. Займатися такою профілактикою вчителеві потрібно постійно.
- Математика
- Урок математики у початкових класах школи та його особливості. Тмо сучасного уроку математики. Система уроків математики.
- 4.2. Характеристика структурних елементів уроку математики
- 52. Усна лічба на уроках математики.
- 60.Характеристика структурних елементів уроку математики.
- 2.2. Зв'язок фізики з математикою.
- Особливості організації навчання в класах математичного, фізичного та фізико-математичного профілів
- Шляхи підвищення ефективності уроку математики
- 73. Позакласна робота з математики в початкових класах. Види позакласної роботи з математики, їх коротка характеристика.