3. Приближенные вычисления в школьной математике и их возможное место

Тема “Приближенные вычисления” в школьной программе вводится в V и VIII классах, причем материал никак не связан между собой. То, что вводилось в V классе, заново вводится в VIII, но уже на других основаниях. Рассматриваются лишь некоторые задачи, приводящие к приближенным вычислениям, причем не всеми авторами. “Приближенные вычисления” сводятся к округлению и нахождению абсолютной и относительной погрешностей. Из всего вышесказанного можно сделать вывод, что понятие точности приближения целостно не представлено в школьной математике, а значит определенного места (за исключением некоторых элементов), приближенные вычисления не имеют.

Таким образом, можно выделить двойное содержание темы:

- Общее, обязательное, предложенное всели авторами школьных учебников;

- Дополнительное, которое не вводится специальным образом, но может быть полезным при изучении других тем и помогает при решении обязательных задач.

Как отмечалось выше, в школьной программе тема вводится в пятом и в восьмом классах. И на нее отводится в среднем всего по два часа. Проанализировав учебники, было выявлено, что для обязательного изучения предлагается два алгоритма: округление и нахождение погрешности.

Таким образом, в пятом и восьмом классах изучаются одни и те же понятия, и учащимся остается неизвестным, какую роль тема играет в математике.

В то же время, в школьной математике приближенные вычисления присутствуют. Существуют темы, которые не могут обойтись без понятия точности приближения. Перечислим эти темы:

- Иррациональные числа;

- Бесконечные десятичные дроби;

- Вычисление корня n - й степени;

- Логарифмы;

- Квадратные уравнения;

- Приближенные формулы;

- Построение графиков функций;

- Предел.

Практически во всех перечисленных темах требуются знания о диапазоне разброса. Часто, без помощи МК ученик не может найти значение корня n - й степени, но ведь это можно сделать, применив знания из темы “Приближенные вычисления”.

С приближенными формулами учащиеся сталкиваются в восьмом и одиннадцатом классах. В восьмом классе, в пособии [25, с.151 - 153] приведены следующие приближенные формулы:

1) При малых значениях и верна приближенная формула

(1 + )(1 + ) 1 + + , если = , получим (1 + )21 + 2.

Отсюда следует, что если |b| мал по сравнению с |a|, то (a + b)2a2 + 2ab.

2) Если 1, 2, …, n малы по сравнению с 1, то (1 + 1)(1 + 2) … (1 + n) 1 + 1 + 2 + … + n, и потому (1 + )n 1 + n.

3) Если || мало по сравнению с единицей, то 1 -.

В учебнике для 11 класса [7] содержится ряд лабораторных работ, при выполнении которых учащиеся сталкиваются с приближенными вычислениями. В лабораторных работах встречаются следующие задания:

- Начертите примерный график скорости, изменения углового коэффициента касательной;

- Вычислите приближенно угловые коэффициенты касательных;

- Вычислите с заданной точностью;

- Найдите приближенное значение корня по приближенной формуле;

- Найдите приближенное значение корня методом последовательных приближений;

- Изучите влияние погрешности вычисления t на погрешность вычисления at

- Вычислите приближенное значение натурального логарифма числа a с помощью формулы (ax) = (ln a)ax;

- Вычислите приближенное значение интеграла с помощью интегральных сумм;

- Решите приближенно дифференциальное уравнение методом Эйлера. (Начиная с некоторой точки строится ломаная с заданным шагом. Значение функции вычисляется по формуле уравнения прямой, угловой коэффициент находится из дифференциального уравнения).

- Вычислите приближенно корни уравнения:

А) методом половинного деления;

В) методом касательных;

С) методом хорд.

Сопоставляя материал школьной программы по теме “Приближенные вычисления” с задачами, приводящими к понятиям приближенных вычислений, становится ясным, что предложенные алгоритмы (округление, накопление погрешности) не отражают направления. От учеников скрыты возможные исследовательские задачи. На самом деле, задача о приближении функций требует большого объема дополнительных знаний и недоступна для школьников. Однако, нами был обнаружен материал, связывающий школьную программу с теорией. Приближенное решение уравнений, в частности, квадратных уравнений, может вывести учеников на понятия приближенных вычислений, открыть для них новую область знаний. Возникла гипотеза, что задача о приближенном решении квадратных уравнений может быть исследовательской.