Введение

В школьной программе наиболее полно представлены понятия числа, функции. Приближенные вычисления затрагиваются намного меньше, для изучения предлагаются, главным образом, только два алгоритма: округление и нахождение погрешности. Необходимость изучения приближенных вычислений подчеркивал Брадис В.М. [8]: “… отсутствие в школьных программах специального раздела, посвященного приближенным вычислениям, является серьезным дефектом этих программ, весьма неблагоприятно сказывающимся на математической культуре молодежи, оканчивающей среднюю школу”. Школьникам тема представлена как вспомогательная, не важная, не представляющая интереса для изучения. Существует проблема: приближенные вычисления - самостоятельное и очень интересное направление в математике - не представлено учащимся. Расширить представления школьников об этой области математики, показать, что приближенные вычисления являются отдельным направлением, обогатить исследовательский опыт учащихся возможно в рамках дополнительных образовательных форм, например, в форме факультативного курса. Поэтому целью дипломной работы является разработка факультативного курса и выявление учебно-исследовательских задач на материале приближенных вычислений.

Для достижения цели решались следующие задачи:

- Определение места приближенных вычислений в математике и школьной программе. Для этого был проделан анализ методической литературы, анализ научной литературы, посвященной этим вопросам, анализ школьных учебников.

- Подбор материал к факультативному курсу.

- Выделение исследовательских задач, выводящих учеников на понятия, связанные с приближенными вычислениями.

- Изучение возможности введения материала в форме учебно-исследовательской задачи.

Дипломная работа состоит из трех глав, введения, заключения, списка литературы из 29 наименований и пяти приложений.

В первой главе мы определяем, какое место приближенные вычисления занимают в школьной программе и в математике как науке. В результате проделанного анализа научной и методической литературы, были найдены направления, в которых без приближенных вычислений обойтись практически невозможно:

1) нахождение численного решения прикладных задач (например, изучение явлений природы);

2) приближенное нахождение иррациональных чисел; нахождение решений алгебраических и трансцендентных уравнений;

3) приближенные формулы;

4) приближение функции.

В результате анализа учебной литературы было выяснено, что эти направления в школьной программе не представлены. Существует несоответствие представления приближенных вычислений в школьной программе с той ролью, которую они играют как в теоретической, так и в прикладной математике. В школе дети учат два алгоритма (округление и нахождение погрешности), основное содержание приближенных вычислений не рассматривается. Мы обнаружили связь теоретической математики со школьной программой. Приближенное решение уравнений, в частности, квадратных, может вывести учеников на понятия приближенных вычислений, открыть для них новую область знаний.

Вторая глава посвящена разработке факультативного курса. К задачам факультативного курса относятся:

1. Расширение представлений учащихся о математике.

2. Создание условий школьникам для проведения самостоятельного учебного исследования.

Чтобы разработать факультативный курс был проанализирован материал, из научных задач отобраны подходящие для школьников, выбран адекватный возраст. Факультативный курс ориентирован на школьников 7 - 8 классов. Выбор возраста объясняется особенностью школьной программы.

Разработанный факультативный курс состоит из двух блоков.

В первом блоке изучаются базовые понятия, выделенные в результате анализа учебной литературы. Базовые понятия вводятся на основе логики введения понятий приближенных вычислений, разработанной Ковалевой С. А. [15]. Во втором блоке предлагаются учебно-исследовательские задачи:

- “Погрешность суммы и разности. Накопление погрешности при предварительном округлении”. Ученикам предлагается несколько примеров с несколькими знаками после запятой. В задании нужно найти сумму и разность с точностью до десятых двумя способами, а после сравнить полученные результаты. Учащимся предлагается обсудить свои способы решения (возможны два способа). При нахождении значения первым способом нужно сначала округлить слагаемые до десятых, а потом сложить или отнять. При нахождении значения вторым способом сначала складывают или отнимают, а потом округляют до десятых. В результате получаются разные ответы. Возникает вопрос, почему так произошло. Проанализировав каждое округление, ученики должны прийти к выводу, что произошло накопление погрешности.

- “Погрешность произведения”. В задаче нужно произвести измерения, найти погрешность каждого измерения, а затем погрешность произведения. Далее нужно найти погрешность произведения не находя погрешности каждого измерения. В результате нужно прийти к формуле для нахождения погрешности произведения.

- “Приближенное решение уравнений”. Предлагается решить квадратное уравнение разными методами: подбора, последовательных приближений, половинного деления отрезка. В задаче формулируются проблемы. Какой из методов: подбора или последовательных приближений, наиболее эффективен? Какой из методов: подбора, последовательных приближений, половинного деления, наиболее эффективен? Любое ли уравнение можно решить методом последовательных приближений? Для каких уравнений метод работает?

Факультативный курс был опробован в лицее № 3 г. Красноярска, в 7 классе, в течение трех месяцев.

У разработчиков курса возникла гипотеза, что темами творческих работ могут быть исследовательские задачи из приближенных вычислений. Третья глава посвящена творческой задаче. Здесь приведен опыт написания творческой работы по теме: ”Изучение скорости сходимости разных методов при решении квадратных уравнений”. В работе из нескольких способов для приближенного нахождения корней квадратного уравнения был выделен наиболее эффективный. Затем было обнаружено, что способ работает не для всех уравнений, после было найдено условие, при соблюдении которого способ работает. Работа была выполнена в рамках “Школы молодого ученого” при Гимназии № 1 “Универс”, защищена на школьной конференции. В работе была отмечена грамотность проделанного исследования.

Таким образом, ряд задач связанных с приближенными вычислениями, можно вводить в рамках факультативных курсов и предлагать в качестве тем творческих работ, что позволит расширить представление учащихся и откроет новую область для исследования.